“退”中追源 “進”而求聯

數學課堂的探索環節順利與否，直接關系著課的整體推進效果。那么一個成功或不成功的教學案例在探索環節的處理上，有沒有內在的聯系呢？對此，筆者圍繞數學課堂探索環節如何處理好“退”與“進”的關系這一問題，談一些自己粗淺的看法，與同行共商榷。

一、 引“退”的有效策略

（一） “退”到知識的原點

讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，可以使學生在獲得對數學理解的同時，促進思維能力、情感態度與價值觀等方面的進步和發展。

教師在教學中要從知識的源頭出發，思考所教知識的本質及如何去教，教師只有有效地把握了知識的本質，才能對課堂教學做到淋漓盡致。如“三角形的認識”一課教學中，高的畫法是教學的重點，讓每個學生能準確地知道高的本質屬性及畫出三角形對應邊上的高，及其體驗銳角、直角、鈍角三角形的高之間的內在聯系，是教學中的一大難點。因此，在教學中要幫助學生正確把握高的本質屬性（即點到直線的距離），引領學生經歷高的形成過程，掌握三角形高的畫法。

另外，教師在教學中要從教學材料的實際和學生的認知特點出發，盡可能幫助學生從生活現象中找到數學的“生活原型”，使抽象的數學問題更加形象化、具體化和富有現實意義。

（二） “退”到認知的盲點

學生在學習的過程中由于受年齡、經驗的局限或者慣性思維的影響，對概念的認知往往表現出孤立、膚淺的特征，這就是認知的盲點。

認知心理學家認為，當學習者發現不能用頭腦中已有的知識來解釋一個新問題或發現新知識與頭腦中已有的知識相悖時，就會產生“認知失衡”，因為人有保持認知平衡的傾向，所以認知失衡會導致“緊張感”。為了消除這種緊張的不適感覺，就會產生認知需要（內驅力），努力求知，萌發探索未知領域的強烈愿望。在努力求知，變“失衡”為“平衡”的過程中，主體活動得到了有效體現，思維得到了發展，解決問題的能力得到了提高。

由于小學生生活經驗和學習經驗都有一定的局限性，在認知沖突過程中有時就會造成一定的“迷惘現象”，即出現了認知發展的“盲點”。此時，如果教師不能及時幫助有效過渡，他們將很難跨過“經驗數學”到“科學數學”的這一道“坎”。因此，在教學中，當學生出現認知發展的“盲點”時，教師可以有意予以暴露，使學生自己明白僅憑經驗很難完全解釋生活現象，還得依靠科學作為支撐來進行有效論證，以此進一步激發他們進行數學探索的欲望。

（三） “退”到思維的網點

學生在生活中已經獲取了一定的數學信息，并在頭腦中沉積下來逐步形成一種模糊的數學模型。因此，教師在教學中就要幫助學生去找準“經驗數學”到“科學數學”的切入點，使數學表象在學生頭腦中慢慢地從模糊到清晰，逐步形成牢固的、科學的數學模型。同時，教師在教學中要引導和組織學生去經歷、體驗和探索數學知識的形成過程，讓他們從中感悟數學與生活的聯系。因此，教師在教學的動態進程中要善于及時捕捉知識的伸長點，深入地引導學生去探索經驗數學，通過親身的經歷、體驗和感悟，使經驗數學得以理性提煉，上升為科學數學。

（四） “退”到情感的熱點

成功的數學教學關鍵在于喚起學生的數學情感。教學過程中教師如果引領學生走進認知情感的最佳境界時，學生也就能更加積極、愉悅地投入到學習中去，各方面的能力也就隨之得到和諧發展。在課堂教學中，如果問題過難，“學困生”的思維就跟不上，甚至會茫然不知所措；如果問題過易，優等生會覺得沒有興趣，造成注意力分散。因此，教師在設計問題時要確保各類學生在課堂上都有回答的機會，并善于將既定的學習任務轉化成學生感興趣的具體問題。

二、 推“進”的有效策略

（一） 反思跟進，學法遷移由模糊走向清晰

學生獲得數學知識是不斷地向未知領域探索的過程，對自己的探索過程進行回顧與反思，也是學習活動的一個重要組成部分，是促進學習活動優質高效開展的重要途徑。因此，教師在教學中應有意識地引導學生對自身的學習活動進行回顧與反思，進而促使學生調整學習過程，改善學習策略，讓學法遷移由模糊到清晰，逐步提高自主學習的能力。

比如，在“小數的加減法”教學中，在課的最后環節引導學生進行學習過程的回顧，這是筆者有意地引領著學生“回頭看”，目的是讓學生回顧自己所經歷的學習過程，使研究過程由點成線。緊接著拋出研究小數乘法的課題，一方面是引起學法的主動遷移；另一方面是讓學生的學習方法由線到面，使教學目標得以達成，真正意義上體現了著眼于學生的可持續發展。

學法回顧：

筆算整數加（減）法

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出現與整數加(減)法對應的小數加（減）法

↓

列舉有對應關系的整數、小數加（減）法并進行對比

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運用對應關系的整數、小數加（減）法例子來說明小數加（減）法

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概括小數加（減）法的方法

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運用小數加（減）法的方法解決問題

學法遷移：

請你單獨研究小數乘法的計算方法，如1.56× 4，你會怎樣進行研究呢?請你設計一個簡單的學習方案。

（二） 點面結合，知識結構由孤立走向系統

數學教材是數學知識體系的階段反映，也是教師進行教學、學生開展學習的依據。數學教材中的各個例題之間存在著相輔相成的關系，它們的互相融合成就了一種數學思想。因此，教師可以把握例題之間本質的聯系，站在一個較高的層次上用現代數學的觀念去審視和處理教材，向學生傳遞一個完整的數學思想，幫助學生建立一個融會貫通的網狀認知結構。

例如，在“小數的意義”教學中，在整數數位順序表中很顯然可以看出，整數的數位可以向左面無限地擴張，體現整數系的無限性（即數學探索環節中的“退”）。那么，數位是否可以向右邊擴張呢（其實這個也是數的無限性特征所在），擴張又構成什么數系呢？所以整數向小數的擴張應該是順應學生的認知規律，也是數系必然的、有序的擴張（這就順勢“進”到小數意義建構所需要的“支架”所在）。接著，讓整數到小數發展過程的知識體系由孤立走向系統。因此，十進制關系是整數與小數意義之間求聯的橋梁與紐帶，教師在小數意義的教學探索環節中的“進”與“退”就不應該忽視它。

（三） 任務驅動，問題解決策略由膚淺走向深刻

整體的知識一定是結構的，是相互聯系的，結構的知識一定是要系統整體學習才能掌握，只有系統整體的掌握才可能使得學生在學習知識的過程中問題解決的策略由膚淺走向深刻。

比如，在“兩步連除解決問題”教學中，問題情境是：60人表演團體操，先平均分成2個大圈，然后每個大圈又平均分成5個小圈，問每個小圈有多少人？接著就是做一做：共有960個杯子，6個裝一盒，8盒裝一箱，能裝多少箱？從相關案例中可以看出，本節課的教學主線基本上是通過“創設情境（單個問題情境出現）—提出問題—解決問題—交流概括—練習鞏固”這樣程序來完成的。但是，從兒童的認知角度來看，“包含除”相對于“等分除”要略微有難度些。顯而易見，如果走上面處理的路徑是存在缺陷的?；谝陨纤伎?，筆者從學生以往的學習經驗——“等分除”和“包含除”為認知結構出發，創設雙向認知途徑，通過引導學生進行自主合理辨析來達到數學建模的教學新嘗試，問題解決的策略由膚淺到深刻。

（四） 層級遞進，認知能力由局部走向完整

從數學教學角度考慮，教師必須從學生原有的認知結構出發進行教學，確保學生原有認知與新的數學知識的相互作用；從學習的角度考慮，學生要打好扎實的基礎，建立良好的數學認知結構。同時，數學學習的實質就是認知結構的不斷組織與重新組織。數學教學的任務就是促使學生的數學認知結構不斷得到充實、更新和完善，在每一次數學學習中，都要建立良好的數學認知結構。如“兩位數乘一位數的筆算”教學中的“進位”與“不進位”的學生認知過程。

環節一：“兩位數乘一位數的筆算”的不進位認知中“退”“進”關系溝通示意圖：

12×3=36

環節二：“兩位數乘一位數的筆算”的進位認知中“退”“進”關系溝通示意圖：

14×3=42

環節一突出乘法的本質就是加法，乘法口算也是筆算乘法的一個基礎，通過加法、口算與筆算的溝通，幫助學生建立筆算乘法的算理。環節二讓學生從進位乘法退到進位加法再退到圖形疊加“滿十進一”的加法原型，讓學生經歷數學學習的“退”與“進”過程。如果數學學習能經常這樣進行，那么學生主動解決數學問題的素養就會逐步提升。

三、 “退”與“進”相融的策略

（一） 以靜制動

數學的探索環節是一節課的核心，這個階段的探索性策略設計得科學合理與否直接關系到這節課的成敗。然而，在設計探索性策略過程中，也不是一味地追求順利而不斷地讓學生“動”中學，有時候當 “動”的過程不適合整體推進時，可以采取一些“靜”的手段來幫助“迂回”推進，以“動靜結合、‘退’‘進’糅合”的方式來提高探索的實效性。如“連除問題”中的問題解決環節，筆者作了以下安排：

（1） 問題驅動。

①會場上有120人，如果平均分成4個大組，每大組平均分成3個小組，每小組有多少人？

②會場上有120人，如果每4人圍成一個圈，每5個圈組成一個團隊，能組成多少個團隊？

（2） 自主探索。

（3） 媒體演示。

①會場上有120人，如果平均分成4個大組，每大組平均分成3個小組，每小組有多少人？

方法一：120÷4÷3

方法二：120÷（４×３）

②會場上有120人，如果每4人圍成一個圈，每5個圈組成一個團隊，能組成多少個團隊？

方法一：120÷4÷5

方法二：120÷（４×５）

以上由一步計算的“等分除、包含除”簡單問題引入—兩步連除問題解決的展開—連除問題解數學模型的建構”這層層遞進的過程中，教師在每個環節都設計了讓學生想想、做做、說說等實踐活動，學生是在不斷“動”中推“進”的。筆者認為，數學學習中，有時引領學生“靜”下來作適當的整理也是十分必要的。以上是讓學生在一些問題解決后有意安排觀察媒體演示的環節，在其目的是引導學生探索后的一種回頭整理，彌補快進中的認知缺陷，即“進”中引“退”，以靜制動，來強化問題解決與數學思考這數學課堂的核心價值。

（二） 以點帶面

在教學中，教師可以發現，每節課的不同階段或環節，都有著節點，即“課眼”。也就是整堂課是個面，但這個面的好壞，有時決定于這樣一些“課眼”的處理上，這樣一些點在整節課起著“牽一發而動全身”的作用。所以，在這樣一些點的處理上，不要一味往前推進，而是在推進過程中，還需要照顧學生認識的全面性，進行一些適當性的“退”“進”策略的調整。

如“分數的初步認識”一課教學中，從整體“1”到分數“”的出現，從“”到“幾分之一”的跨越，從“幾分之一”到“幾分之幾”的提升，這三個節點的轉折與遞進，是整節課順利推進的關鍵所在，尤其是在第一個節點上，如果“退”與“進”的操作不當，直接影響后兩個點的推進。因此，在本節課的探索環節中，如果學生對“”通過折一折、畫一畫、說一說等手段來感知還不是那么全面、深刻，此時一定不要匆忙推進，可以通過辨析、說明等策略性“退”的手段來幫助學生進行探索性反饋，也就是在這個節點上一定要做足“退”與“進”的文章，做到“退”中有進，“進”中有“退”，“退”“進”結合，在一個個點上下工夫，從而全面提升課堂核心價值。

（三） 以亂明序

一般而言，教師對課堂教學的探索環節總是希望越順暢越好，換句話說，在探索環節最好是不要出現意外。在這樣的課堂價值驅動下，教師的教學會使學生的主動辨析、建構的能力越來越弱化。因此，這就需要教師在探索環節，在學生順利挺“進”的過程中，不斷設置一些“坎”，來攪亂固有的“序”，以“亂”引“退”，理“順”帶“進”。

比如，在人教版六年級下冊“統計”一課的教學中，一個要點就是讓學生學會辨析信息，因此，教師在探索環節設計了一個正反辯論的環節，通過辯論過程中的“亂”引“退”，然后以“亂”促“進”。

信息呈現：張老師班里的同學業余時間娛樂項目情況統計圖（如右圖）。

（1） 從圖中你發現了什么？

（2） 你對我們班同學有什么建議嗎？

（3） 有同學認為，從統計圖中可以看出班里同學業余時間上網玩游戲的人數是最多的，你同意他的觀點嗎？為什么？

（4） 正反辯論，明晰信息。

……

（浙江省杭州市和睦小學 310011）