隱性內容顯性化:破解圖形教學疑難的關鍵點

在課堂教學中，教師如何引導學生從具體、直觀的生活場景或現象中提取相應的數學概念，從而在相對抽象的層面上，達到對幾何圖形的真正認識和把握，并在具體的教學情境中，把數學思想與方法從具體教學內容中抽象出來，進而內化為學生的數學素養？筆者以為，要達成上述目標，不是一蹴而就的，需要教師基于學生的理解水平，設計顯性的、有思維過程的教學，真正破解教學疑難，提高學生的學習效率。下面筆者就結合平時教學實踐中的幾則案例進行具體闡述。

一、 活用觀察與想象，使隱性知識顯性化

在人教版教材的圖形教學內容中，有許多知識都是直接呈現的。而學生對于這些知識的掌握，需要有一個建構的過程。只有這樣，學生才能真正理解和掌握，從而內化為自身的知識。

如筆者在執教“長方體的認識”中，對長方體的長、寬、高這個知識點作了適當的顯性處理，并收到了良好的教學效果，教學過程如下。

教師要求學生用12根小棒搭一個長方體框架，仔細觀察長方體的各個頂點。

師：請注意這個長方體的頂點，你有什么發現？

生：每一個頂點都引出三條棱。

師：從一個頂點出發的三條棱的長度在數學上叫做該長方體的長、寬、高。同學們，我們把一個長方體放在一個平面上，一般底面上較長的那條棱的長度叫做長，較短的那條棱的長度叫做寬，垂直于底面的那條棱的長度叫做高。現在請互相指一指長方體的長、寬、高。

師：把這個長方體畫在紙上，我們來比較一下，用小棒搭的長方體可以找到四條長、四條寬、四條高，而畫的圖形中只能找到三條長、三條寬、三條高。還有一條長、寬、高隱藏在哪里呢？大概在哪個位置，你能找到嗎？（學生用手比畫，教師結合課件演示）

師：這就是藏起來的長、寬、高。我們知道長方體的面都是長方形，為什么畫上去就變成平行四邊形了呢？（師生共同交流體會這是由于透視的關系）

師：這個長方體的長、寬、高是多少？看，假如把長方體的這條長隱去，你還能想象出它的大小嗎？長、寬、高各是幾？（學生回答）

師：如果再隱去兩條，你還能想象出它的大小嗎？你能想象出它的右面有多大？

生：能。

師：再隱掉三條呢？

生：能。

師：想一想，至少保留幾條，我們一樣能想象出它的大小。怎么樣的三條？是任意的三條嗎？

生：從一個頂點引出的三條棱。

生：就是長、寬、高，三條棱。

師：現在只有這樣三條棱了，你還能想象出它的大小，它的上下、左右、前后嗎？

師（出示長方形圖）：這個長方體由哪幾個長方形圍成？上下是這里的哪個面？前后、左右又是這里的哪個面？

長方體的長、寬、高是一個“規定性知識”，在教學中筆者并沒有像教材中那樣結合三視圖直接告訴學生，而是充分挖掘它的隱性教學因素，精心設計找長方體物體上的長、寬、高；從長方體的三視圖中找它的長、寬、高；擦掉幾條棱想象這個長方體各面的大小；最后至少保留幾條棱，在保留的長、寬、高中選擇這個長方體六個面的長方形等一系列的數學活動，讓學生在觀察想象的過程中，多種感官協同作用，此時的“長、寬、高”已不是簡單意義上的長方體的各部分名稱，它們決定著長方體的大小，從而讓它們的不可或缺性顯現出來，化為了學生的深刻思考，使學生的想象力、觀察與分析能力及空間觀念都在活動中得到有效發展。

二、 借用遷移與對應，使隱性技能顯性化

數學知識的邏輯性強，“空間與圖形”領域中的每一個知識點都不是孤立存在的。因此，教師要充分運用遷移，引導學生在舊知基礎上找到新知的生長點。同時鑒于小學生思維的形象、直觀性，在技能形成的過程中，教師應注重對應思想的運用，在操作活動中完成對技能的建構，進而內化為一種穩定的數學能力。

在“三角形的特性”一課中教學畫三角形的高這一技能時，筆者就依據這樣的理念設計教學，并取得了較好的教學效果，教學過程如下。

師：大家都知道平行四邊形有高。（課件出示平行四邊形的兩種高）那三角形有高嗎？如果有，你能來指一指嗎？

學生指出水平邊上的高（點A到BC邊的距離），教師課件出示高，并使線段AB、AC閃爍并消失。

師：看這條高，好眼熟，在哪里見過？

生（回憶）：這就是點A到BC邊的距離。（課件再次顯示線段AB、AC，見圖１）

師：對，我們通常把從頂點出發，到對邊的垂直線段的長度叫三角形的高。

課件出示：

師：下面變個小魔術。看（出示圖２），你認為現在它還是三角形ABC的高嗎？（生有認同也有不認同）

師：讓我們看書中對三角形的高是怎么說的，再來思考這個問題。

師：什么是三角形的高，課本中是怎么描述的？誰來讀一讀？（同時出示課件）

師：你現在認為它是不是高，是誰的高？再找一找頂點B和頂點C的對邊。

根據生答師板書：A—BC B—AC C—AB

師：請同學們猜想一下，一個三角形會有幾條高？

生：有三條，因為有三個頂點及三條對邊。

師：是的，那請你在作業紙中畫出AC邊上的高或是AB邊上的高。

等學生畫得差不多時，指名讓學生到黑板上來板演，重點突破用三角板畫高的畫法。課件出示銳角三角形三條高的動態演示過程。

三角形的“高”歷來是教師公認的教學難點，這與教材中對這一內容編排的“隱性化”有一定關系。一個定義和一幅圖，僅此而已，如果教師也這樣一滑而過，是不能讓學生形成技能的。如果采用顯性化處理，以平行四邊形的高為切入口，運用學生經驗，達成了對“高”的生活概念向數學概念的初步抽象，通過課件演示，閃爍消失線段AB、AC，通過“這條線段好眼熟，在哪里已經見過面了”的提示，讓學生發現新知識畫高和舊知識過直線外一點畫已知直線的垂直線段是一回事。學生在這樣的自我建構中，畫高的技能與作垂線之間得到整合。而三角形一旋轉，打破了學生原先對高的辨識能力和表象停留的水平面觀察視角，通過對概念的自學和找出頂點的對應邊，學生的多重感官得以充分調動及參與，學生頭腦中對“高”的認識推向了更為本質的層面。

三、 運用操作與驗證，使隱性思想顯性化

圖形的測量是“幾何初步知識”的核心內容，蘊涵著大量的數學思想。這些數學思想的運用，引導學生從最初的具體活動經驗和直觀感知到最終的抽象數學結構的生成，使其真正建立起對數學模型的認識與理解。在“圓的面積”這一課中，教材中直接展示把圓通過剪拼轉化成近似的長方形推導出圓的面積計算公式，讓學生感受化曲為直和無限逼近的數學思想。但在具體的教學中，教師發現，按教材的教學，結果課后的一組練習讓學生比較為難。

第一題：將一個圓形沿半徑平均分成若干份，剪拼成一個近似的長方形。已知這個長方形的長約是3.14厘米，那這個圓的面積是多少？

第二題：如圖一個正方形的面積是2平方厘米，那么這個圓的面積是多少？

一部分學生無從著手，主要是因為他們認為求圓的面積一定要知道它的半徑，而現在半徑是一個隱性條件。對此，筆者重新設計了教學思路，具體如下。

教師創設生活情境，引出求圓的面積大小。

師：同學們，請你大膽地猜一猜，圓的面積大小與什么有關呢？

生：可能與圓的半徑有關。因為圓的半徑越長，面積越大。

師：有道理，那圓的面積與它的半徑究竟有怎樣的關系呢？以前我們常用“數格子”的方法來數出某個圖形的面積，下面老師給大家提供了幾個襯有方格紙的圓，請你也來數一數，算出這幾個圓的面積。（師出示圖，生用數方格的方法算出圓的面積，并填空，每一個小格表示1平方厘米，不到一格都算半格）

正方形的面積=（ ）平方厘米

1/4個圓的面積=（ ）平方厘米

圓的面積=（ ）平方厘米

圓的面積大約是正方形面積的（ ）倍

師：結合剛才數格子的方法，同學們可以大膽猜測圓的面積與半徑有什么關系？

生：圓的面積大約是半徑平方的3倍多一點。

生：圓的面積大約是半徑平方的π倍。

師：那么究竟是不是π倍？又該怎樣計算圓的面積呢？回憶一下，我們以前是怎樣得到平行四邊形、三角形、梯形的面積的？

生：把它們都轉化成我們學過的平面圖形。

在探究圓的面積計算公式時，教師先用數格子的方法讓學生對圓面積約等于半徑平方的3倍多一點有一個清晰的認識，從而猜測圓的面積等于半徑平方的π倍。轉而引導到沿半徑平均分成了必然，“化曲為直”的數學思想成了他們主動探究知識的行為指導。在學生成功地轉化后，再讓學生指一指長方形的長在圓上是哪條線的長度，長方形的寬表示圓的哪條線。這樣的一一對應使數學思想變得實實在在。多元化的探索，打開了學生的探索、研究的閘門，每一個層次的推進，都無聲地引導學生將思維從實物操作向表象操作再向算法操作過渡，從而完成對意義的建構。

四、 巧用拓展與延伸，使隱性數學文化顯性化

人教版教材在一些題材的編寫中適時增加了“你知道嗎？”這塊內容。在這塊內容中許多都涉及數學歷史，編者試圖通過讓學生接觸一些數學歷史故事、名人、名題，感受數學文化的厚重與魅力，促進對數學知識的理解，領悟數學思想方法，為厚實學生的數學文化素養提供豐富的素材。然而由于教材篇幅的限制，不可能對這些知識作長篇介紹。在具體的教學中，教師可以稍作改進，進行必要的拓展與延伸。

在“圓的周長”的教學中，筆者對圓周率的介紹作了適當的拓展，收到了良好的效果。

探究圓的周長計算公式時，發現圓的周長與直徑的關系后，引出圓周率。

師：同學們，剛才經過操作，我們發現圓的周長大約是直徑的3倍多一點，數學上叫圓周率。但如果我們在操作過程中不那么仔細，還會產生比較大的誤差。其實，為求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路。

教師課件出示相關資料，同時伴有同步朗讀。

約2000年前，中國的古代數學著作《周髀算經》中就有“周三徑一”的說法，意思是說圓的周長是它直徑的3倍。在古巴比倫、古印度等國家也曾經長期使用3這個粗略而簡單實用的數值。東漢時期官方還明文規定圓周率取3為計算面積的標準，后人稱之為“古率”。

在古埃及，在2000多年前“蘭德紙草”上記載著一個求圓形土地面積的例子，從他們的計算中可以推算出他們所用的圓周率約為3.160……這比我國古代數學家劉徽的研究成果要早1800多年。

在我國，古代數學家劉徽采用“割圓術”得到圓周率π=3.1416，“割圓術”即在圓內畫出內接正多邊形。像這樣，劉徽一直算到正3072邊形，非常接近圓的周長，并由此求得了圓周率為3.1416這個近似值，稱為“徽率”。在當時，全靠手工作圖，要作出這個多邊形是需要多大的毅力和耐心啊！

約1500年前，中國偉大的數學家和天文學家祖沖之，正是在劉徽的割圓術的基礎上，得到圓周率的兩個近似值，即約率為，密率為。他計算出的圓周率應在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把圓周率的值精確到7位小數的人。并將這一紀錄保持了一千年之久。如果他也采用劉徽的“割圓術”的話，后人曾推算過，需要算到圓內接正12288邊形，才能得到這樣的精確度。但可惜記載其研究成果的著作《綴術》早已失傳，不然的話，我們一定能看到祖沖之的方法的精巧和計算的仔細。他的這一成果享譽世界：巴黎“發現宮”科學博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石像，月球上有以祖沖之命名的環形山……

１６世紀，歐洲萊頓地區的聲道爾夫將圓周率計算到小數點后35位，并且在遺囑上寫明，要后人把這個數值刻在他的墓碑上，這就是著名的“墓志銘”，墓碑上刻下的值為：3.141592……950288。

隨著現代科學技術的發展，借助計算機計算的值就容易得多了。1949年算到2035位，1958年超過了一萬位，1973年超過了300萬位，1993年日本的科學家借助先進的計算機，已經算到了800萬位以后。現在已經達到了小數點后面上億位了。現在用計算機計算圓周率，不單是為了刷新紀錄，更主要的作用是檢驗計算機的演算能力和誤差率。

在上述教學中，教師將這一素材作為引子，并將其放大，不光要通過介紹我國歷史上的杰出數學家及其輝煌成就，增強學生的民族自豪感，還應像上述教學過程一樣，簡要介紹其他方面的內容，使學生對數學歷史的發展有一個全面的認識。此時的教學有效地促進了學生對數學知識的深刻理解，同時也使課堂更具有啟迪智慧與傳承文化的意蘊。

總之，教師在教學中要通過一定的教學手段使數學知識中的隱性內容顯性化，真正為學生所領悟，從而破解圖形教學中的疑難。

（浙江省余姚市實驗小學 315400）