在核心問題上尋求突破

【教學內容】人教版五年級下冊第12頁~14頁。

【教學過程】

一、 課前談話

師：今天，老師上課的內容和一個小朋友有關系。（課件出示一個在拼圖形的男孩照片，旁注：我叫舒際樂）猜猜，他和劉老師會是什么關系？

生：母子關系。

師：你真厲害！一猜一個準。具體地說，劉老師是舒際樂的——

生：媽媽！

師：能反過來說嗎？

生：舒際樂是劉老師的兒子。

師：能正著說，還能反過來說。可見，關系是相互的。（課件出示：關系是相互的）劉老師是舒際樂的媽媽，那你是舒際樂的媽媽嗎？

生：不是，我是舒際樂的姐姐。

師：是的，你顯然不符合做舒際樂媽媽的條件。（課件出示：關系是需要符合條件的）要稱之為舒際樂的姐姐，需要符合什么條件？

生：女的，還要年紀稍微大一些。

師：說得真好。你們的弟弟舒際樂剛讀一年級，剛認識了一些基本圖形。這一天，他正在用12個大小完全一樣的正方形拼擺長方形。我在一邊看著，發現里面大有學問，我們一起去探究好嗎？

（評析：理解因數、倍數之間相互依存關系是該課的一大難點，教學中一般借助生活事例對“依存關系”含義進行點撥、激發，但往往只停留在“相互”層面。而片段中教師在“相互”基礎上涉入“需要條件”核心詞的引導，促使學生卷入“依存關系”深入、全面的體悟，為因數、倍數之間關系作出充分的孕伏。同時，巧妙借助小男孩拼擺小正方形的情境切入新課學習。）

二、 認識因數和倍數

師：舒際樂想把12個大小完全一樣的正方形拼成長方形。你們做哥哥姐姐的，能教教他怎么拼擺嗎？

師：都會教啊？提高要求，你能用一道乘法算式來介紹你的擺法嗎？

生：3×4=12。

師：他想怎么拼？

生：每行擺4個，擺3行。（根據學生回答，課件出示長方形）

師：還可以怎么想？

生：每行擺3個，擺4行。

師：兩種擺法的形狀是一樣的，我們記為一種。還有其他不同的乘法算式嗎？

生：2×6=12。

師：一起說說，是怎樣擺放的？

生：每行2個，擺6行，或者每行6個，擺2行。

師：這兩種形狀一樣，又記為一種。還有嗎？

生：1×12=12。

師：大家用手勢演示一下擺法。哦，一行或一列。

師：還有嗎？

師：12個小正方形拼擺成長方形只有三種擺法，這里面蘊藏著一種我們到現在都沒有研究過的數學關系——因數和倍數關系。（板書：因數和倍數）在研究因數和倍數的時候，我們所說的數指的是整數，而且不包括0。（板書：只研究整數（不包括0）），看得懂嗎？

生：就是只研究0以外的整數，不研究分數、小數。

師：是的，從圖形拼擺中得到乘法算式里的數，都是整數。那以3×4=12為例，你想，誰會是誰的因數，誰會是誰的倍數呢？

生：3和4是12的因數，12是3和4的倍數。

師：很好，你是把3和4合起來說，還可以分開說。（師板書概念）因為3×4=12，所以3是12的因數；反過來，12是（3的倍數），4是（12的因數），12(是4的倍數)。這里還有兩個式子：2×6＝12、1×12＝12，每個算式的三個數又有怎么樣的關系，自己輕聲說一說。（師指名反饋）

師：你能自己寫一道乘法算式，并說說誰是誰的因數，誰是誰的倍數嗎？

生：能！

學生寫乘法算式，同桌互說后指名反饋。

師：這樣的算式，關系寫得完、說得完嗎？那我們可以找誰幫忙，用一個式子把無數的式子都表示出來？

生：用字母，a×b=c。

師：那么a、b、c可以是任何數嗎？

生：不是，必須都是整數，且不包括0。

師：符合了這個條件，a、b、c之間就有了怎樣的關系？

生：a和b是c的因數，c是a和b的倍數。

師：看來，同學們對因數和倍數關系已經有了一定的認識，一起來判斷這組關系。

師課件出示：12是24的因數。

生：對。

師：那你能猜到他想的是什么算式嗎？

生：他想的是12×2＝24。

師：根據這個算式我們還能得到什么信息？

生：24是12的倍數。

生：2是24的因數，24是2的倍數。

課件出示：0.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍數，0.9是1.8的因數。

生：對。

生：錯。

師：你為什么認為錯呢？

生：因為0.9和1.8是小數，因數和倍數只研究0以外的整數，不研究小數。

師：是的，就是這個原因，這句話是錯的。可是，剛才為什么會有那么多同學認為是對的呢？能不能說說你是怎么想的？

生：因為1.8是0.9的2倍。

師：說得真好，1.8是0.9的2倍，是我們很早就認識的幾倍關系，可以是小數，可以是整數，而我們今天學習的因數和倍數關系，只研究整數。

師：同學們，正是由于剛才一部分同學的錯誤，讓我們回憶起了以前的幾倍關系，知道了“幾倍”和“倍數”的不同，進一步清晰了因數和倍數關系的研究范圍，這就是錯誤帶來的思考。所以我們不必害怕錯誤，要善于從錯誤中汲取知識。

師課件出示：18是倍數。

生：錯。他沒有說清楚18是誰的倍數。

師：18會是誰的倍數呢？

生：3、6。

師：反過來，3和6都是18的因數，18的因數還有嗎？

（評析：對因數、倍數意義的理解是本課的重點和難點，教師借助12個小正方形擺長方形的直觀材料，以數形結合的方式作出范例直言，揭示概念。學生在模仿描述基礎上進行自己舉例描述，在感知較為豐富的基礎上進行對概念的概括。緊接著安排一組判斷練習用于反饋學生對概念內化程度，第一題判斷強化了“數”“式”之間轉換，為因數倍數相互依存關系的理解和找因數方法進行滲透；第二題通過小數乘法算式點擊了學習重要疑難點——“幾倍”和“倍數”概念的差異，增進研究范疇的意識；第三題一方面強調了依存關系，另一方面借問“18的因數還有嗎？”自然銜接到找因數的教學環節之中。這樣通過“以例規例—抽象概括—內化反饋”路徑幫助學生完成因數、倍數意義的理解。）

三、 找一個數的因數

師：那你能把18的所有因數都找出來嗎？先自己寫一寫。

生：我是從式子里找的。1×18=18，所以1和18是18的因數。2×9=18，找到了2和9，還有3×6=18，找到了3和6，一共有6個。

師：他是利用乘法式子一對一對來找的，又快又對。有沒有發現其中的順序？

生：先1和幾，再2和幾，再3和幾。

師：先想1，通過乘式連帶想到了18；想2，連帶想到了9；想3，連帶想到了6；想4，不可以；5呢？不可以；6，還要再想嗎？

生：不用了，重復了。

師：還有別的方法嗎？

生：我用除法。18除以1，得到18；除以2，又得到9；除以3，又得到6。

師：乘除法相通，用除法也可以找到一個數的因數。看來大家都會找因數了。那請你用喜歡的方法快速寫出35全部的因數。

生：1、35、5、7，只有4個。

師：再試一個，36。

生：1、36、2、18、3、12、4、9、6、6。

師：兩個6，只需要寫一個。這些數的因數還可以用集合圖表示。仔細觀察這三個數的因數，你發現了什么？它們之間有什么共同特點？和同桌說說。

生：最小的因數是1，最大的因數是本身。

師：這么重大的發現，趕緊記下來。

生：一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身。

師：是不是其他的數也是這樣呢？5最小的因數是幾？最大的因數是幾？50？500？看來一個自然數的因數都具有這樣的特點。那么一個數的倍數呢？同學們會找一個數的倍數嗎？

（評析：有了前面“數”“式”之間的強化，學生自主運用乘式策略進行找因數，并對除法試除的方法進行點撥。結合“18”“35”“36”的因數相繼完成集合圖表示方法和一個數的因數特點的歸納。找一個數的因數及發現歸納其特點是學習重點卻不是難點，教師敢于放手，充分發揮學生自主性，快捷高效。）

四、 找一個數的倍數

師：你能找出多少個2的倍數？同桌說一說。

生：2、4、6、8、10……

師：2的倍數也可以用集合圖表示，3的倍數呢？

生：3、6、9……

師：5的倍數。

生：5、10、15……

師：你們找得這么快，一定有自己的好方法，說出來，一起分享一下。

生：我是乘1、乘2、乘3這樣找的。

生：我是加它本身，用加法找的。

師：都是好方法。大家仔細觀察一下找出來的這些倍數，你發現了一個數的倍數有什么特點？

生：一個數的最小倍數是它本身，沒有最大倍數。

師：一個數的最小倍數是它本身，這句話是什么意思？你能舉例嗎？

生：10最小的倍數是10。

師：那100最小的倍數是？1000呢？10000呢？

師：但它們都沒有最大的倍數。一個數倍數的個數是——

生：無限的。

師：一個數倍數的個數是無限的，那么一個數因數的個數呢？

生：是有限的。

師：如果用“有始有終”來形容一個數的因數的特點，你覺得“始”指的是什么？“終”呢？

生：“始”就是1，“終”是這個數本身。

師：可以怎么形容一個數倍數的特點呢？

生：有始無終。

師：這個“始”是指什么？

生：這個數本身。

師：那你現在對于因數和倍數，有了哪些新的認識？

（評析：找一個數的倍數、歸納發現找倍數的方法學生并不存在多大困難，而對“一個數最大因數和最小倍數都是它本身”的理解有著一定難度。教師加強了一個數因數、倍數特點的綜合性聯系比較，借助“有始有終”“有始無終”形象詞匯中“始”“終”的具體指向，幫助學生明晰了“本身”的要義。）

五、 綜合練習（略）

【總評析】

學生對因數倍數概念雖不陌生，但較為模糊、混亂，主要體現為：把因數、倍數割裂成孤立的運算（如因數存在于整、小數乘法運算中；倍數存在于整、小數除法中，商相當于倍數）；把“倍數”和“倍”混為一談。為此，對“因數倍數意義和兩者相互依存關系的認識與理解”是本課一個教學重難點，將其具化為兩個核心疑難問題：一是如何強化樹立“非零自然數”的研究范疇意識；二是如何加深“因數倍數是一種關系而不是孤立運算中的某個數”本質認識。

本課教學中，這兩個核心難點得到了有力突破：

對于第一個難點“因數倍數研究范疇”進行了分散教學：第一次在因數倍數概念揭示之前，板書出示研究范疇，并通過追問“看得懂嗎？”給學生形成一個初步的感知；第二次在概念抽象概括中，對“a×b=c”三個數的范疇進行了討論，再度感知；第三次在概念內化辨析中，對“0．9×2=1．8”進行質疑，對研究范疇加以回顧。

對于第二個難點“因數倍數是一種關系”也進行了分層關注：課前談話通過“母子關系”“姐弟關系”討論使學生感知對象變了相應的關系也隨之發生變化，為“依存關系”認識進行鋪墊；在“0．9×2=1．8”判斷中，組織“猜一猜，為什么有同學認為是對的？”的追問，點明此倍數非彼倍數進行澄清；在“18是倍數”的判斷中再次強調了相互依存關系。另外，在概念教學中，教師一直非常注重“關系”和“乘式”之間的切換性追問，如“12是24的因數讓你想到了哪個式子？根據12×2=24，你還能想到哪兩個數之間的因數倍數關系？”，又如學生提到“18是3、6的倍數”馬上反饋“你想到了哪道乘法算式？”，這些追問有助于增進學生“因數倍數關系”和“乘法算式”之間的內聯意識，強化“因倍數概念”建立于“式”的感知表象，從而加深依存關系的認識與理解。

（浙江省奉化市實驗小學 315500

浙江省奉化市教師進修學校 315500）