數(shù)形結(jié)合找規(guī)律

【設(shè)計理念】

小學(xué)生的思維發(fā)展特點是從具體形象思維為主要形式逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維是初步的，且在很大程度上仍具有具體形象性。通過數(shù)與形的有機結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機地結(jié)合起來，能夠有的放矢地幫助學(xué)生多角度、多層次地思考問題，養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣，甚至為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造條件。鑒于此，筆者嘗試開展了“數(shù)形結(jié)合找規(guī)律”思維訓(xùn)練課的設(shè)計、教學(xué)與研究。

【教學(xué)目標】

1． 讓學(xué)生在生動有趣的活動中觀察、尋找圖形的特點，結(jié)合圖形從不同的角度觀察得出不同的數(shù)學(xué)規(guī)律。

2． 應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力、發(fā)散思維能力和創(chuàng)造性思維能力。

3． 通過以形助數(shù)的直觀生動性，體會數(shù)形結(jié)合，感受數(shù)學(xué)的趣味性。

【教學(xué)過程】

一、 導(dǎo)入

師：同學(xué)們有沒有學(xué)過這樣一首詩？（師出示《題西林壁》這首詩：橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。）這首詩什么意思？（從不同角度看廬山，廬山的模樣各不相同）

師：其實在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是如此，對待同一個問題，如果從不同角度去觀察、去思考，得出的結(jié)論、規(guī)律也會不同。

（設(shè)計意圖：從學(xué)生比較熟悉的古詩導(dǎo)入新課，非常簡明。以此遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也要善于從不同角度觀察和思考問題，為后面新知的學(xué)習(xí)作了鋪墊。）

二、 新授

師（依次出示圖1、圖2、圖3）：分別說說是由幾個小圓點組成的。想象一下圖4會是什么樣子的？一共有多少個圓點？

師：你是怎么想到圖4會有16個小圓點的？仔細觀察這組圖，你還有什么發(fā)現(xiàn)呢？（生暢談自己的發(fā)現(xiàn)）

師：同學(xué)們不僅能用一個數(shù)表示每幅圖的圓點數(shù)，而且還能用算式來表示這組圖的規(guī)律，真了不起。根據(jù)這個規(guī)律，想一想第5個圖形是怎樣的？一共有多少個圓點？第8幅圖呢？第100幅圖呢？第N幅圖呢？

師：通過剛才的觀察，我們發(fā)現(xiàn)每幅圖的圓點總數(shù)都可以看做是兩個相同的數(shù)相乘的積，這些算式還可以用平方數(shù)的形式來表示。那剛才我們是怎樣觀察的？（橫著觀察的）

（設(shè)計意圖：數(shù)形結(jié)合方法之一是借助“形”的生動和直觀性認識“數(shù)”。通過觀察前3個圖，使學(xué)生從整體上了解圖形的圓點排列特點；然后，通過想象圖4的樣子及圓點個數(shù)，進而作出大膽的猜想、合理的假設(shè)，并作出試探性的結(jié)論，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維能力。）

師：如果下列式子也是表示每幅圖圓點的總數(shù)，那么和剛才的算式等不等？

1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42

師：仔細觀察等式，左邊的式子有什么特征？右邊的呢？左右聯(lián)系起來看，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生匯報得出：從1起連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的平方。

師：要求連續(xù)奇數(shù)的和只要知道什么？下列式子你會求嗎？

（1） 1+3+5+7+9+11 （2） 1+3+5+7+9+11+13+15+17

（3） 3+5+7+9+11+13+15+17+19

師小結(jié)：剛才我們對于同一組圖，從不同的角度觀察，找到了這么多不同的規(guī)律。同學(xué)們真了不起。其實早在2000多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家們就是借助這些小圓點，找到了這些規(guī)律。

師：我們再回憶一下，剛才是怎樣找到這些規(guī)律的？和什么結(jié)合起來找的？（揭題：數(shù)形結(jié)合找規(guī)律）數(shù)形結(jié)合是一種特別重要的數(shù)學(xué)思想方法。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。什么意思？希望同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以用來解決一些實際問題。

師出示：（1） 1+3+5+……+99

（2） 2+4+6+……+998

解決第（1）題的關(guān)鍵是什么？怎樣確定奇數(shù)的個數(shù)呢？

第（2）題有什么特征？連續(xù)偶數(shù)的和如果與連續(xù)奇數(shù)的和一樣有規(guī)律那就好了，想不想研究？

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生主動而有效地觀察圖形，培養(yǎng)學(xué)生從圖中讀懂重要信息，并整理信息，提出問題、分析問題、解決問題的能力，養(yǎng)成自主探索、自我評價、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強對數(shù)形結(jié)合思維模式的認知，體會圖形對數(shù)學(xué)規(guī)律形成的意義。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、歸納、類比、猜測等過程，發(fā)展合情的推理能力，運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決數(shù)學(xué)問題并進行交流；體會圖形發(fā)現(xiàn)的樂趣，初步感受圖形的美和推理的價值。）

三、 應(yīng)用

1. 出示三個算式：2+4、2+4+6、2+4+6+8。你能在圖５中畫一畫、分一分，使每幅圖的圓點總數(shù)分別能用下列式子來表示嗎？

2. 學(xué)生在圖５的每個圖中分別獨立劃分后反饋。

3. 如果換個角度再觀察這組圖，你還能用什么式子來表示每幅圖的圓點總數(shù)呢？在圖６一列中分一分，并用算式表示。然后分小組討論你們的發(fā)現(xiàn)。

4. 反饋。得出結(jié)論：從2起連續(xù)偶數(shù)的和等于偶數(shù)個數(shù)的平方加偶數(shù)個數(shù)，即（n2+n），或等于偶數(shù)個數(shù)乘比偶數(shù)個數(shù)大1的數(shù)，即n×（n+1）。

（設(shè)計意圖：教師通過這道探索性的題目，讓學(xué)生去研究、探討、發(fā)現(xiàn)，進行一系列探索性思維活動，以“數(shù)”解“形”，使學(xué)生更準確地把握“形”，將已有的思維方式大跨度地遷移，進而發(fā)現(xiàn)蘊涵在圖形中的數(shù)學(xué)規(guī)律。）

四、 拓展

師：剛才這幅圖換個角度去觀察，還有許多神奇的規(guī)律，感興趣的同學(xué)課后可以再去研究，并把你的發(fā)現(xiàn)寫成一篇小論文交給老師。（學(xué)生也可能會有如下的發(fā)現(xiàn)）

（設(shè)計意圖：以上這道題，借助“一題多解”或“一題多變”的形式，來引發(fā)學(xué)生提出新的思想、新的方法、新的問題，發(fā)展思維的廣闊性和靈活性，激勵學(xué)生的好奇心和求知欲，不斷提高學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力。）

(江蘇省丹陽市華南實驗學(xué)校 212300）