讓學生經(jīng)歷知識的形成過程

一、 引言：乘法分配律怎么證明？有什么用？

在一次小學數(shù)學骨干教師培訓的教學實踐研討課上，兩個學生的偶然提問引起了筆者和在座眾多聽課教師的思考和討論。

這是四年級下冊的一節(jié)“乘法分配律”的新授課。教師讓學生從一個等式“（4＋2）×25＝4×25＋2×25”出發(fā)，得到一個數(shù)學規(guī)律，“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加”。這個規(guī)律就叫做乘法分配律，它還可以用字母表示為“（a+b）×c=a×c+b×c”。然后，教師對大家說，“同學們，對于乘法分配律，你想說點什么？”

一個學生問道：“老師，我們僅從一個算式出發(fā)，就得到了乘法分配律，乘法分配律正確嗎？怎么能說明它一定正確呢？”這時，有些學生也開始附和：“是呀，怎么說明乘法分配律一定正確呢？”面對這突如其來的問題，教師愣了一下，但很快鎮(zhèn)定下來，說道：“同學們，你們能舉出反例說明乘法分配律不正確嗎？”學生開始舉例子，都符合乘法分配律，沒有人能舉出反例。這時，教師說：“沒有人能舉出反例說明乘法分配律是錯誤的，所以我們認為它是正確的?！贝藭r，學生不說話了，似乎認同了教師的觀點，可聽課教師卻竊竊私語起來。

之后，教師講解了兩道關于乘法分配律的例題，便讓學生進行鞏固練習。在課堂小結時，教師讓學生談談運用乘法分配律解題的感受。一個學生站起來說道：“老師，您讓我們用乘法分配律計算‘（3＋1）×6＝3×6＋1×6＝18＋6＝24’，但是我們不用乘法分配律解就可以看出是4×6＝24，干嗎還要這么復雜？乘法分配律到底有什么用??？”這時，全場都靜了下來，目光再次聚焦到授課教師身上。授課教師一臉茫然，想說點什么，卻欲言又止。就在此時，下課鈴響了，教師乘機結束本節(jié)課。

這節(jié)課給聽課教師留下了深刻的印象，因為學生提出了兩個出人意料的問題，而這兩個問題又很難回答。是啊，怎么能說明乘法分配律是正確的呢？舉不出反例就能說明一定正確嗎？在數(shù)學上判斷一個命題的正確性，需要依靠邏輯推理來證明，在小學階段怎么證明乘法分配律是正確的呢？另外，學習乘法分配律僅僅是為了所謂的簡便計算（況且有些學生還認為越用越復雜）？乘法分配律的價值到底在哪里呢？

二、 乘法分配律的證明與價值

一般情況下，乘法分配律有兩種形式：（1）基本形式。兩個數(shù)的和與第三個數(shù)相乘，等于每個加數(shù)分別與第三個數(shù)相乘，再把它們所得的積加起來，即（a+b）×c=a×c+b×c，或者c×（a+b）=c×a+c×b；（2）拓展形式。若干個數(shù)的和與一個數(shù)相乘的積，等于和中的每一個加數(shù)與這個數(shù)相乘，再把所得的積加起來，即（a1+a2+…+an）×b=a1×b+a2×b+…＋an×b，或者b×（a1+a2+…+an）＝b×a1+b×a2+…+b×an。下面的討論主要針對基本形式的第一個式子進行，讀者可以拓展到其他形式。

（一） 乘法分配律的證明

在小學數(shù)學中，乘法分配律的適用范圍有兩個，一個是自然數(shù)，另一個是有理數(shù)。下面我們分別在自然數(shù)和分數(shù)的條件下證明乘法分配律。

1. 在自然數(shù)范圍內

在自然數(shù)范圍內，乘法的意義是表示相同加數(shù)的連加，是一種特殊的加法［１］。由此出發(fā)，并借助加法運算律，我們可以證明乘法分配律。

（a+b）×c=（a+b）+（a+b）+…＋（a+b）

＝a+a+…＋a+b+b+…+b

=a×c+b×c

特別地，當c＝0時，（a+b）×０＝０＝a×０＋b×０；當c＝1時，（a+b）×１＝a+b＝a×１＋b×１。從而，在自然數(shù)范圍內，乘法分配律成立。

２. 在分數(shù)范圍內

下面我們證明，在分數(shù)范圍內（也可以說在有理數(shù)范圍內），乘法分配律+×=×+×成立（這里a，b，c，d，m，n是整數(shù)，且b，d，n≠0）。

因為×+×=+=，所以+×=×===×+×。

（二） 乘法分配律的價值

在小學數(shù)學中，乘法分配律的價值主要表現(xiàn)為兩個方面：一方面借助乘法分配律進行簡便計算，這一點已經(jīng)形成共識，在小學數(shù)學中也有大量的相關練習題；另一方面乘法分配律是進行多位數(shù)豎式乘法的基礎，即它是我們進行豎式乘法的依據(jù)。這第二點價值可能還有很多人沒有意識到，下面我們通過“３７×２８”的豎式乘法來分析一下。

觀察乘法豎式（見圖1），不難發(fā)現(xiàn)，我們在計算的時候，相當于將“３７×２８”寫成“37×（20＋8）”，再用乘法分配律得到“37×8＋37×20＝296＋740＝1036”。一般地，豎式計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理為：要計算ab×xy，根據(jù)十進制計數(shù)法，可改寫為ab×（１０x+y）；根據(jù)乘法分配律，等于ab×１０x+ab×y。讀者可以類似拓展到其他多位數(shù)乘多位數(shù)的情況。

三、 乘法分配律的教學

乘法分配律是一個重要的數(shù)學規(guī)則，對此內容的教學要經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)—表述—證明—運用”四個階段，讓學生領悟到乘法分配律“從哪里來，是什么，到哪里去”。

（一） 發(fā)現(xiàn)

師：老師這里有兩句話，“我愛爸爸”和“我愛媽媽”。你能把它們合并成一句話嗎？

生：能，那就是“我愛爸爸和媽媽”。

師：很正確。校服每件上衣62元，每條褲子37元，大家算一算，咱們班35個人，每人一套校服，需要花多少錢？暫不計算結果，說一說你是怎么列算式的。

生：每一套校服的錢乘總的套數(shù)：（62＋37）×35。

生：所有上衣的錢加上所有褲子的錢：62×35＋37×35。

師：有兩種不同的算法，得到兩個不同的算式，大家猜一猜，這兩個算式的結果會怎樣？

生：結果相等，也就是說（62＋37）×35＝62×35＋37×35。

師：是嗎？動手算一算，是否真的相等？

學生計算，結果都等于3465，教師在黑板上寫下：（62＋37）×35＝62×35＋37×35。然后，再出示兩個類似的問題，用類似的方法得到兩個等式：（4＋2）×25＝4×25＋2×25，（10＋8）×50＝10×50＋8×50。

師：觀察這三個等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？請用自己的話說一說。

（評析：教師通過生活情境的引入和數(shù)學問題的解決，引導學生對多個數(shù)學事實進行觀察，從而發(fā)現(xiàn)乘法分配律，培養(yǎng)學生數(shù)學探究和歸納猜想的能力。）

（二） 表述

生：兩個數(shù)的和與第三個數(shù)相乘，等于每個加數(shù)分別與第三個數(shù)相乘，再把它們所得的積加起來。

生：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再把乘積相加。

生：（甲數(shù)＋乙數(shù)）×丙數(shù)＝甲數(shù)×丙數(shù)＋乙數(shù)×丙數(shù)。

生：（△＋□）×○＝△×○＋□×○。

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

……

（評析：啟發(fā)學生從多個角度表述乘法分配律，既可以加深對乘法分配律的理解，又可以培養(yǎng)學生的數(shù)學表達和數(shù)學交流能力。）

（三） 證明

師：大家的發(fā)現(xiàn)正確嗎？

生：正確。我舉了幾個例子，都驗證了它。

生：不一定。找不到反例，只能說明它正確的成分很大，但不能說明一定正確。

師：怎么才能說明這個結論一定正確呢？

生：除非我們能用學過的數(shù)學知識來證明它正確。

師：對！在數(shù)學上肯定一條結論，需要憑借證明。這里的a、b、c都是大于0的自然數(shù)，以（a+b）×c=a×c+b×c為例，你能證明它嗎？

生：我試試，可以用乘法的含義來證明。根據(jù)乘法的意義，（a+b）×c表示c個（a+b）的連加，將括號去掉，就是c個a的連加，再加上c個b的連加，根據(jù)乘法的含義，就是a×c+b×c。（師根據(jù)學生的敘述板書，具體參見前文）

生（眾）：哇！巧妙！

生：我可以用長方形的面積來證明。如圖2所示，長為a+b、寬為c的長方形ABCD的面積為（a+b）×c，也可以是兩個長方形ABFE與EFCD的面積和，即a×c+b×c，從而（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這樣，我們就可以確定（a+b）×c=a×c+b×c是正確的。我把這個等式變成c×（a+b）=c×a+c×b，你說它正確嗎？

生（眾）：正確。

師：我們把這個規(guī)律叫做乘法分配律。大家用自己的話說一說，什么是乘法分配律？

（評析：證明乘法分配律能加深學生對乘法分配律和乘法意義的理解，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學說理和論證能力；同時也讓學生初步體會到數(shù)學的研究方法，即在數(shù)學上肯定一個結論需要給予證明，而否定一個結論只需要舉出反例。）

（四） 運用

師：下面請大家用乘法分配律計算25×（10＋8）和37×（20＋3），并用豎式計算25×18和37×23，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)豎式的算法就是來源于乘法分配律。

師：如果計算38×102，你打算怎么算？

生：我會列豎式計算。

生：我把38×102寫成38×（100＋2），再用乘法分配律計算。

師：大家用兩種方法計算，體會一下哪一種方法更簡單。

（評析：學以致用，通過這兩類練習題的計算，教師不但培養(yǎng)了學生解決問題的能力，還讓學生體會到了乘法分配律的重要價值，加深了對相關數(shù)學內容的理解。）

四、 結束語：數(shù)學教學要讓學生經(jīng)歷來龍去脈

在數(shù)學教學中，教師如果僅僅告訴學生一個概念、公式、定理和法則，就讓學生進行簡單的模仿練習，學生往往理解不深刻，也常常會出錯。如果讓學生經(jīng)歷重要知識的來龍去脈，學生就會理解得更深刻，也會減少一些錯誤。

因此，在進行一些重要的數(shù)學知識點的教學時，教師要讓學生明白“知識點怎么來的——為什么會有它”“知識點是什么——如何用語言描述它”“知識點有什么用——它的作用是什么，可以解決哪些問題”等基本問題。對于像乘法分配律這種重要的數(shù)學結論和數(shù)學公式，采用“情境引入—探索發(fā)現(xiàn)—語言表述—數(shù)學證明—鞏固運用”的教學模式，教學效果會比較好。

（首都師范大學初等教育學院 100048）

（山西省太原師范學院數(shù)學系 030012）

參考文獻：

［1］ 史寧中. 數(shù)學思想概論·數(shù)量與數(shù)量關系的抽象［M］. 長春：東北師范大學出版社，2008.

［2］ R·柯朗，H羅賓. 什么是數(shù)學［M］. 左平，張飴慈譯. 上海：復旦大學出版社，2005.

［3］ 張奠宙等. 小學數(shù)學研究［M］. 北京：高等教育出版社，2009.