“如何進(jìn)行兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學(xué)——算法多樣化教學(xué)研究”校本教研活動(dòng)方案(二)

在上一期中，我們主要討論了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的一些教學(xué)問題，本期將主要討論在計(jì)算課中實(shí)施算法多樣化的理念與途徑。

一、 活動(dòng)目標(biāo)

1． 經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同伴交流關(guān)于如何實(shí)施算法多樣化的相關(guān)資料與問題。

2． 思考在計(jì)算課中復(fù)習(xí)與不復(fù)習(xí)的利弊；閱讀并思考對算法優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)。

3． 明確實(shí)施算法多樣化的理念和操作方法。

二、 活動(dòng)內(nèi)容、形式與時(shí)間

1． 每位教師思考并書寫出在實(shí)施算法多樣化時(shí)遇到的主要問題，并準(zhǔn)備在年級和全數(shù)學(xué)組中進(jìn)行交流。不集中，時(shí)間約30分鐘。

2． 每位教師獨(dú)立解答下文中關(guān)于如何實(shí)施算法多樣化的相關(guān)問題，不集中，時(shí)間約1.5小時(shí)。

3． 交流自己寫出的問題及答案，先以年級組為單位交流，再全數(shù)學(xué)組交流。時(shí)間約1.5小時(shí)。

可以根據(jù)學(xué)校教研活動(dòng)的時(shí)間和教研組教師的情況，選擇下面“活動(dòng)前準(zhǔn)備”中的一些問題進(jìn)行解答與交流。

三、 活動(dòng)前準(zhǔn)備

解答下面的問題，并準(zhǔn)備交流。（注：以下帶有“※”的問題表示有一定的難度。）

1． 你覺得什么叫算法多樣化？有人說，算法多樣化就是計(jì)算方法的多樣化。你同意這樣的觀點(diǎn)嗎？

2． ※數(shù)學(xué)課程中實(shí)施算法多樣化，有什么利弊？下列表達(dá)中，你認(rèn)為是利的請打“√”，認(rèn)為是弊的，請打“×”。

（1） 拉開學(xué)生間數(shù)學(xué)能力上的差異。（ ）

（2） 每一個(gè)學(xué)生都有了獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)。（ ）

（3） 只有利于尖子學(xué)生的成績提高。（ ）

（4） 學(xué)困生常常一種方法也沒有。（ ）

（5） 學(xué)困生面對很多算法，常常無所適從。（ ）

（6） 提供了數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì)，可以學(xué)習(xí)表達(dá)與傾聽。（ ）

（7） 課堂交流的時(shí)間很長，練習(xí)量減少。（ ）

（8） 增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性。（ ）

（9） 學(xué)習(xí)從多角度思考問題。（ ）

（10） 有利于理解計(jì)算的道理（算理）。（ ）

3． 算法多樣化與一題多解有什么異同點(diǎn)？

4． 學(xué)生在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，原來的教材一般都有準(zhǔn)備題，在新課前會(huì)先復(fù)習(xí)這兩塊知識，而現(xiàn)在的教材常常是創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境，要求學(xué)生自己列出算式并嘗試獨(dú)立解決。如果你上兩位數(shù)乘兩位數(shù)這節(jié)課，新課前有沒有復(fù)習(xí)呢？為什么？你在上其他計(jì)算課時(shí)，新課前也都有復(fù)習(xí)嗎？為什么？

５． 你認(rèn)為，新課前如果安排復(fù)習(xí)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)有什么利弊？如果不安排復(fù)習(xí)，又有什么利弊？關(guān)于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學(xué)，新課前有復(fù)習(xí)和沒有復(fù)習(xí)的利弊，甲、乙兩人進(jìn)行了討論與交流，下面是他們的對話，你覺得有道理嗎？

甲：你在上兩位數(shù)乘兩位數(shù)這節(jié)課時(shí)，新課前有復(fù)習(xí)嗎？

乙：當(dāng)然有復(fù)習(xí)。

甲：復(fù)習(xí)什么內(nèi)容呢？

乙：我會(huì)安排復(fù)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的計(jì)算方法與算理。

甲：我是不復(fù)習(xí)的。你為什么要安排復(fù)習(xí)這些內(nèi)容呢？

乙：難道你不知道，這些內(nèi)容是解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎(chǔ)嗎？

甲：什么意思？你是說，要解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)，一定要會(huì)兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)嗎？

乙：當(dāng)然是這樣的。我們就以24×12為例，在豎式計(jì)算中，實(shí)質(zhì)上，就是24×2再加上24×10。你看兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)還不是基礎(chǔ)嗎？

甲：學(xué)生如果開始不用豎式計(jì)算呢？

乙：那他們怎么做呢？

甲：他們可以只用加法，也就是12個(gè)24相加或者24個(gè)12相加得出結(jié)果，或者用24×2×6、24×3×4，或者用12×3×8、12×4×6等等方法。

乙：這……用加法的方法的確沒有用上兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)；后面的幾種方法用到了兩位數(shù)乘一位數(shù)，但沒有用到兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)。你的意思是，我安排復(fù)習(xí)可能做了無用功？

甲：是的，因?yàn)槟銖?fù)習(xí)的內(nèi)容是針對豎式計(jì)算的方法或者是對24×2+24×10這類方法的，而對其他的方法可能是無利的。

乙：為什么會(huì)有弊呢？

甲：因?yàn)槊恳环N計(jì)算方法都會(huì)有它相應(yīng)的基礎(chǔ)，如果你針對某一種方法復(fù)習(xí)了它的基礎(chǔ)，那么對學(xué)生運(yùn)用其他的方法可能在思路上會(huì)有限制。

乙：你是說，我的復(fù)習(xí)對于豎式計(jì)算是有利的，但可能會(huì)對學(xué)生的思路有暗示作用，不利于學(xué)生想出其他的計(jì)算方法？

甲：是的。比如說，學(xué)生學(xué)習(xí)7加幾的20以內(nèi)進(jìn)位加法，我們?nèi)绻寣W(xué)生獨(dú)立去計(jì)算7+6=（ ），那么學(xué)生可能會(huì)有多種不同的思路，6+6=12、12+1=13；7+7=14、14-1=13等等方法都可能會(huì)出現(xiàn)。但如果一開始就復(fù)習(xí)數(shù)的組成與分解，要求學(xué)生把4、5、6、7等數(shù)分解成3和幾，并解決7+（ ）＝10、7＋3＋1＝（ ）這樣的問題，那么，湊十法的思路就容易出現(xiàn)，但其他方法運(yùn)用就可能會(huì)少一些。

乙：這樣看來新課前的復(fù)習(xí)的確有利弊，一方面可以幫助學(xué)生在他們的知識與能力庫中，提取運(yùn)用某一種方法解決問題的知識與能力，有利于問題的解決。但同時(shí)也可能限制學(xué)生的其他解題思路。

甲：的確如此。我不復(fù)習(xí)就是不想限制學(xué)生的思路，希望學(xué)生能夠獨(dú)立思考，從多種角度嘗試去解決問題，使他們有機(jī)會(huì)自己去提取解決眼前問題需要的知識與能力。這樣會(huì)有利于算法多樣化的具體實(shí)施。

乙：新課前不復(fù)習(xí)就有利而無弊嗎？

甲：弊還是有的。如果一個(gè)學(xué)生不能解決問題，當(dāng)他無法提取解決眼前問題所需要的知識與能力時(shí)，他將經(jīng)歷解題失敗的痛楚，經(jīng)常經(jīng)歷這樣的過程，可能會(huì)讓這部分學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

乙：是不是可以這樣說，有復(fù)習(xí)對成績中下學(xué)生解決問題是有利的，但對成績中上學(xué)生可能是有弊的。沒有復(fù)習(xí)對中上學(xué)生有利而對中下學(xué)生有弊？

甲：我同意這樣的觀點(diǎn)。

乙：但一個(gè)班級總會(huì)有好生和部分差生，上新課前到底應(yīng)不應(yīng)該復(fù)習(xí)呢？

甲：這要根據(jù)學(xué)生與教學(xué)內(nèi)容的情況來定。我的處理是：新課前不復(fù)習(xí)的課多一些，有復(fù)習(xí)的課少一些，總體上說，我想先讓學(xué)生自己獨(dú)立思考去嘗試解決問題。這對學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣是有好處的，對提高學(xué)生的素養(yǎng)是有益的。

乙：我還要想想，新課前到底應(yīng)該是有復(fù)習(xí)的課多一些，還是少一些。

甲：哈哈，開個(gè)玩笑說，你的課堂當(dāng)然是你做主！

６． 如果讓學(xué)生獨(dú)立嘗試去解決24×12這樣的問題，那么學(xué)生可能會(huì)有以下的方法：

（1） 24×12=24+24+…+24（12個(gè)24相加）；

（2） 24×12=12+12+…+12（24個(gè)12相加）；

（3） 24×12=24×10+24×2；（4） 24×12=12×20+12×4；

（5） 24×12=24×3×4；（6） 24×12=24×2×6；

（7） 24×12=12×4×6；（8） 24×12=12×3×8；

（9） 24×12=24×20-24×8；

（10） 24×12=12×30-12×6；

（11） 24×12＝24÷8×12×8；

（12） 24×12＝12÷6×24×6

（13） 用豎式計(jì)算的方法。

有人認(rèn)為：“讓學(xué)生計(jì)算24×12，有了多種方法后，一定要進(jìn)行優(yōu)化。從某種意義上說，優(yōu)化的過程是進(jìn)一步數(shù)學(xué)化的過程，數(shù)學(xué)總是試圖用最優(yōu)化的方法解決問題。”你同意這樣的觀點(diǎn)嗎？為什么？

７． 在上面列舉出的解決24×12的13種算法中，你認(rèn)為哪一種或哪幾種是比較優(yōu)的方法？第（13）種豎式的計(jì)算方法是最優(yōu)的嗎？為什么？

８． 如果要優(yōu)化，如何來衡量算法優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)？如果讓你列出一些衡量的標(biāo)準(zhǔn)，你認(rèn)為最主要應(yīng)該考慮的因素是什么？

９． 也有人認(rèn)為：“在學(xué)生計(jì)算24×12，有了多種方法后，不需要優(yōu)化，可以讓學(xué)生自己選擇，學(xué)生喜歡用哪一種方法就用哪種方法。一種方法是不是優(yōu)，最主要是看這種方法是不是適合解決某一個(gè)計(jì)算問題，另外，學(xué)生自己是不是喜歡用這種方法也很重要。因此，不可能建立一個(gè)統(tǒng)一的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)。從客觀上說，也不會(huì)有一種方法是絕對的優(yōu)或絕對的劣。”你同意這樣的觀點(diǎn)嗎？為什么？

１０． 有人認(rèn)為：“衡量一種算法是不是優(yōu)主要看以下三個(gè)方面，一是從心理學(xué)的角度看，學(xué)生是不是喜歡這種方法；二是從教育學(xué)的角度看，這種方法是不是教師易教、學(xué)生易學(xué)的；三是從數(shù)學(xué)的角度看，這種方法是不是在學(xué)生后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要用到的。”你同意這樣的觀點(diǎn)嗎？為什么？你覺得什么是“教師易教、學(xué)生易學(xué)的方法”？對一個(gè)優(yōu)的方法來說，是上面的三方面要求都要做到，還是只要能夠滿足一個(gè)方面的要求，就是優(yōu)的方法？

1１． 不管是不是要優(yōu)化算法，對每一種算法都應(yīng)該分析它的特點(diǎn)，也就是要讓學(xué)生分析每一種算法的長處與不足，在分析每種算法的特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，對各種算法進(jìn)行分類很重要。你覺得上面列舉的這13種算法可以分成幾類？每一類方法有什么特點(diǎn)？

1２． 在積極提倡算法多樣化的課堂教學(xué)中，學(xué)生有了多種算法后，教師需要把這些算法呈現(xiàn)出來，讓全班學(xué)生共享。一般的做法是學(xué)生說出自己解決問題的計(jì)算方法，教師板書相應(yīng)的方法。但這樣的教學(xué)過程時(shí)間比較長。想一想，你有什么辦法，既能讓學(xué)生經(jīng)歷多樣化方法的呈現(xiàn)過程，達(dá)到交流的目的，又能減少教學(xué)時(shí)間呢？你覺得，分別采用下面的一些方法，能夠達(dá)到上述的目標(biāo)嗎？在這些方法中，你喜歡哪一些方法，為什么？

方法一：在學(xué)生小組交流的基礎(chǔ)上，由一個(gè)小組的代表把他們小組的所有方法都匯報(bào)完。在小組交流時(shí)，要求學(xué)生把方法進(jìn)行歸類，全班交流時(shí)小組代表一類一類地匯報(bào)。

方法二：在每一個(gè)小組交流歸類的基礎(chǔ)上，讓兩個(gè)小組再交流一次，并把兩個(gè)小組的方法合并歸類，這樣在原來的基礎(chǔ)上，再一次歸納，減少了不必要的重復(fù)，兩個(gè)組確定一個(gè)代表向全班匯報(bào)。

方法三：教師為每一個(gè)小組準(zhǔn)備一張大一點(diǎn)的白紙，每個(gè)小組討論交流時(shí)，先把自己組的方法分類寫在這張紙上，再貼到黑板上或教室的四周，大家去看、記。說一說，你看到的你們組沒有想到的方法是哪些。

方法四：在學(xué)生小組交流時(shí)，教師有意識地尋找方法比較多的一個(gè)組，讓這個(gè)小組先派一個(gè)或幾個(gè)同學(xué)把自己組的所有方法寫到黑板上，其他組討論好后看一看，能不能理解這些方法。有新方法要補(bǔ)充的，可以小組派一個(gè)代表到黑板上去寫。每一種補(bǔ)充的方法后面都寫上小組的編號，以便有不清楚的同學(xué)可以去問相應(yīng)小組的人。

1３． 如果要積極提倡算法多樣化，你覺得建立哪些觀念是很重要的？說一說，以下的這些觀念是什么意思？建立這些觀念對實(shí)施算法多樣化有利嗎？為什么？

觀念1：要讓學(xué)生獨(dú)立地嘗試解決計(jì)算問題，盡可能找出一種解決問題的方法。

觀念2：無論學(xué)生是否解決了問題，是否計(jì)算出了正確的結(jié)果，教師都應(yīng)該積極地鼓勵(lì)學(xué)生，嘗試用不同的方法去解決問題。

觀念3：要培養(yǎng)學(xué)生用不同的方法去解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣。要讓學(xué)生有用不同方法解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題的愿望。

觀念4：讓學(xué)生重視與同伴的交流，培養(yǎng)學(xué)生比較各種方法特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)）的能力。讓學(xué)生在交流和比較中找到適合自己解決問題的一種或者幾種方法。

觀念5：要培養(yǎng)學(xué)生在比較各種方法特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，把方法進(jìn)行整理與歸類，逐步明確每一類方法的特點(diǎn)。

觀念6：不要求每一個(gè)學(xué)生都能用兩種或兩種以上的方法解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。算法多樣化是對一個(gè)班集體來說的，不是對每一個(gè)學(xué)生的個(gè)體來說的。

觀念7：要引導(dǎo)學(xué)困生建立解決某一類計(jì)算題的思考程序。如兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法，以54-8=？為例。讓學(xué)生獨(dú)立思考嘗試解決這個(gè)計(jì)算題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)有多種不同的方法：

（1） 54－8＝54－4－4；

（2） 54－8＝50－8＋4；

（3） 54－8＝54－10＋2；

（4） 54－8＝58－8－4；

（5） 54－8＝40+14－8=40+6；

……

以上的每一種方法都有數(shù)學(xué)的思維過程，教師可以選擇一個(gè)一般的算法，分析思維過程，并把思維過程歸納成幾步。如對于運(yùn)用第（5）種方法：54－8＝40＋14－8。它的思維過程是：一看：看個(gè)位上的數(shù)是否夠減；二分：把被減數(shù)分成幾十和十幾；三減：十幾減幾；四加：幾十加幾；五寫：寫上結(jié)果。讓學(xué)困生經(jīng)歷得出這五步的過程，然后讓學(xué)生運(yùn)用這個(gè)過程解決兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法的問題。

（以上活動(dòng)方案中問題的相應(yīng)參考答案略）

（浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 310006）