再談“三角形內角和是180°”的證明及其他

在小學數學教學中，“三角形內角和是１８０°”是否有必要用演繹推理的方法進行證明？小學生是否有可能進行證明？“長方形”應該怎樣定義？小學教學中要不要給出長方形的定義？本刊發表兩篇觀點不同的文章，歡迎讀者就這些問題及其他教學熱點問題來稿進行討論。

拜讀了《教學月刊·小學版（數學）》2012年1～2期戎松魁老師的《也談“三角形內角和是180°”的證明》一文后，筆者對戎老師對數學問題本質的追問、嚴謹治學的態度肅然起敬。正如張奠宙教授所說：“數學教育研究沒有數學，有點數學，卻數學錯誤連連，這豈不是本末倒置嗎？”戎老師在這方面為小學數學教師教學研究價值取向的引領做了一個很好的示范。然而，對于文章中的有些問題筆者還是要與戎老師較較真，請戎老師和其他老師指正。

一、 “長方形內角和360°”是由定義得到的

戎老師提出了“長方形的內角和是360°是怎么得到的”這一問題。

文中，戎老師把長方形定義為“有一個角是直角的平行四邊形是矩形（長方形）”，而據此定義要證明長方形的內角和是360°要用到“平行線的性質”。但是“平行線的性質”又是初中內容，故而小學生“論證過程中不好應用”。

誠如戎老師所述，小學生想要證明長方形內角和是360°似乎已是“山窮水盡”。然而，問題又恰恰出在長方形的定義上。《辭海》有權威解答：

【長方形】見矩形

【矩形】四個角為直角的四邊形

此定義簡潔明了易懂。根據此定義很容易回答戎老師的問題。“長方形內角和是360°”是由定義得到的，是不證自明的。另外，由張奠宙教授主編的《小學教學研究》第２７５頁也有相同的解釋，請讀者自查。

二、 一個長方形可分成兩個完全一樣的直角三角形

戎老師提出了另一個問題：“兩個完全一樣的直角三角形為什么可以拼成一個長方形？”

正如戎老師論述的：“可以用兩個完全一樣的直角三角形拼成一個長方形時，已經應用了直角三角形的內角和是180°這個結論了?！?/p>

對此，筆者認為可以對原命題做如下的改進，改為：“一個長方形可分成兩個完全一樣的直角三角形?！?/p>

“直角三角形內角和是180°”這一命題的證明思路如下：一個長方形可以分成兩個完全一樣的三角形 → 一個長方形的內角和是360°→ 一個直角三角形的和是180°。接下來的問題結癥是如何證明“一個長方形可分成兩個完全一樣的直角三角形”。

如圖，對角線AC把長方形ABCD分成兩個直角三角形。AD=BC，DC=AB，而AC是公共邊，根據全等三角形，三邊相等則兩個三角形全等。即三角形ABC和三角形ADC全等。所以一個長方形是可以分成兩個完全一樣的三角形的。當然，這里借助初中全等三角形的證明，小學生或許能理解這樣的解釋，但不會求證。但是，換個角度，根據小學生已學的三角形具有穩定性，即三角形的三條邊長度固定，三角形的形狀和大小就固定不變了。從這個角度思考，三角形ABC和三角形ADC因三邊長度固定，其大小形狀也就完全一樣了。接下來，按前面提到的思路，即證得“直角三角形內角和為180°”，這里不再贅述。

三、 教學目標的設定因人而異，“我的課堂我做主”

文中戎老師提到“有些教師在實際教學中總是喜歡拔高教學目標，這樣做有時真的會弄巧成拙”。

確實在實際教學中有這樣的現象，但是，教師也不可固步自封，不敢越雷池一步。正如戎老師說“有時會……”那么請問“有時”又會怎樣？是不是可以理解成有時也會“錦上添花”？如照此推理，拔高要求本身無過錯，關鍵是在什么情況下可以拔高與怎樣拔高（當然也包括降低）了。

筆者可能是咬文嚼字了，但令筆者感到奇怪的是：大家都認為教育不是工廠生產，不要一個模子，但涉及具體教學時，教學目標又是如此規矩和統一，幾無分層要求。一方面，說要根據學生的具體學情來制定教學目標，另一方面，執教者（尤其是公開課）連學生的基本情況都不清楚，就粉墨登場，“一招鮮，吃遍天”；一方面，聽聞美國的基礎教育比我國的簡單很多，另一方面，又聽聞新加坡基礎教育很好，據說這與他們的教材難度要高于我國很有關系。眾說紛紜，莫衷一是。

事實上，蘇霍姆林斯基在他的著作《給教師的建議》第70條“要敢于鼓勵學生‘超大綱’”提到：“必須讓那些天賦高、有才能的學生在他們有能力的那些學科上和創造性活動的領域里超越教學大綱的界限?！薄叭绻處熞龑ё钣胁拍艿膶W生超出教學大綱的范圍，那么集體的智力生活就會變得豐富多樣，從而影響到最差的學生也不甘落后?！?/p>

筆者認為，教師既不可盲目迷信專家之說，也不可隨意而為。但有一點，自己的課堂一定要有自己的教學思想，一定要有自己的教學主見，一定要有教學的主動權。當然，這一切都是以提高自身的專業素養和基于學生學情為前提的。“我的課堂我做主”，一線教師應該要有這個魄力與膽量。

以上，是筆者的一些看法，言語或有偏激，但也是實話實說。如有不當之處，請大家批評指正，謝謝！

（浙江省紹興縣華舍街道蜀阜小學 312033）