對高中數學新增線性規劃部分內容的理解以及教學建議

王璐璐

【摘要】根據教育部頒發的普通高中數學課程標準（實驗稿），新的數學教材中新增加了很多內容，以期更好地培養學生的數學思維和數學應用能力，其中包含了很多高等數學中的基本內容，比如簡單的線性規劃。本文將論述對于高中數學教材中出現線性規劃這部分內容的理解，并試圖給出一些教學建議。

【關鍵詞】高中數學；線性規劃；教學建議

一、關于線性規劃

1畢咝怨婊在新教材中的位置

普通高中課程標準實驗教科書（北師大版）《數學》必修5第三章《不等式》中的第4小節介紹了簡單線性規劃的基本內容。這部分內容對于文科和理科的學生要求一樣，要求學生掌握解決線性規劃問題的基本步驟，學會從實際問題中抽象出簡單二元線性規劃并加以解決。整個不等式章節的教學約16課時，簡單線性規劃這節內容需要3~4個課時。在學習簡單線性規劃問題之前，先學習了不等關系、一元二次不等式以及基本不等式等內容，讓學生感覺學習線性規劃問題不會那么突兀和難以接受。

2北冉閑戮山灘牡那別

對于不等式，以往的課程比較關注不等式的解法，只是告訴學生如何去解不等式，機械地練習，而學生并不能理解不等式的意義以及用途，新的課程中強調不等式是刻畫和描述現實世界中事物在量上的區別的一種工具，是描述、刻畫優化問題的一種數學模型。增加線性規劃這部分內容，讓學生了解了不等式的應用及其幾何意義，為學生理解不等式的本質、體會優化思想奠定了基礎。

二、為什么要增加線性規劃這部分內容

1畢咝怨婊與函數

解決線性規劃問題，可以歸結為以下步驟：（1）確定目標函數。（2）確定目標函數的可行域。（3）確定目標函數在可行域內的最值。

線性規劃問題是最優化問題的一部分，從函數的角度來看，首先，確定目標函數，用目標函數來刻畫題目中的“好”與“壞”，“大”與“小”，實際上目標函數就是二元函數（在中學教材中），學生很容易理解目標函數這個概念。其次，確定目標函數的可行域，就是由約束條件確定目標函數的定義域，學生可以通過畫出圖形很直觀地看出可行域的范圍。最后，確定目標函數在可行域內的最值，就是通過目標函數在可行域中移動，確定在約束條件下的定義域所對應的目標函數的值域的最值。可以看出，線性規劃這部分內容與函數的聯系極為密切，而函數是高中數學中非常重要的內容，因此，在高中教材中引入高等數學中的線性規劃問題便不足為怪了。

2畢咝怨婊與數形結合

由于線性規劃問題可以化歸為目標函數求最值問題，而目標函數在某個區域上的最值問題又可以通過直線的平移加以解決，因此正確地畫出不等式（組）表示的平面區域，平移直線就是解決此類問題的關鍵。這就用到了數形結合的基本思想，畫出所求目標函數的可行域，直觀地解決線性規劃的問題。作為高等數學中的內容的線性規劃與中等數學中最基本的數形結合思想有著如此密切的聯系，將其引入高中課程也就變得理所當然。

3畢咝怨婊的應用價值

《標準》中列舉了10項指導數學課程設計的基本理念，其中一項就是發展學生的數學應用意識。對數學的應用意識是衡量學好數學的一個標準，很多時候學生甚至教師將數學知識的學習與應用分開來看，這對于我們學好數學是非常不利的。而線性規劃是一個應用性非常強的工具，可以很好地鍛煉學生的數學應用意識。平時生活中的很多問題都可以抽象成簡單的線性規劃問題，例如《標準》中的案例3是一個投入產出模型，北師大版教材上的例9是關于為病人配營養餐的問題，這些都是生活中很常見的，讓學生感覺到用自己學的數學知識可以解決這么多實際的問題，會激勵學生學習數學的興趣和積極性。在新教材中引入線性規劃這部分內容符合《標準》中提出的發展數學應用意識的課程目標，并能很好地聯系實際，將所學知識運用到現實問題中，有利于培養學生發現問題、解決問題、應用所學知識的能力和意識。因此引入這部分內容有著其現實意義。

三、有關線性規劃這部分內容的幾點教學建議

1弊⒅嘏嘌學生發現問題、抽象出數學模型的能力，發展其應用意識

教師在教學過程中，不要簡單地只講解決線性規劃問題的基本步驟，只是為了應對考試才反復訓練解題能力，應當有意識地鼓勵學生善于將所學知識延伸到現實生活中，發現更多的需要解決的問題，從而培養學生應用數學的能力和意識。比如，有這樣一個題：某人有樓房一幢，室內面積共計180 m2，可以住游客5名，每名游客每天住宿費40元，小房間每間面積15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿費50元，裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，才能獲得最大收益？老師可以在講解了有關基本步驟內容以及課本上的例題后，給出學生這個問題。這是個很實際的問題，可以讓學生想象自己需要辦這么一家旅社，考慮它的裝修問題，這會讓學生感到數學就在身邊，激發學生探討數學問題的積極性。此題的解決實際就是按照線性規劃的三個基本步驟進行的，確定目標函數、確定目標函數的可行域、確定目標函數的最值，但老師可以借此向學生舉一反三，給出若干其他例子，也可以讓學生去發現生活中的問題，借以體現數學應用的廣泛性，從而訓練學生發現問題、抽象現實問題的能力，增強其應用數學的意識和能力。

2痹實基礎，學好有關不等式的基本內容，為更好地理解線性規劃奠定基礎

線性規劃的解決是建立在不等式的基礎上的，首先要學好不等式的相關知識，理解不等式的意義及其幾何意義，才能更好地理解線性規劃的含義。新教材的編寫也是根據這樣的規律，首先介紹不等式的有關內容，然后順其自然地引入線性規劃。老師在講解這部分內容時，需隨時復習前面不等式的有關內容，比如從實際情景抽象出一元二次不等式模型、了解基本不等式且會用基本不等式解決簡單的最值問題、了解二元一次不等式的幾何意義等基本內容，只有扎實基礎，才能更好地學習接下來的內容，更好地理解線性規劃。

3鄙透數學的優化思想以及應用

優化思想是人們思考問題、解決問題的基本和重要的思想。在日常生活、學習和工作中，為了提高效益，會遇到各種各樣的優化問題。人們做事總要有目標，從數學的角度考慮，希望對目標加以量化，量化的目標才有好壞之分。線性規劃就是一個很好的優化工具，可以幫助人們解決很多的實際問題。教師在講解這部分內容時應注意向學生滲透數學的優化思想，引導學生發現數學的簡潔美，體會數學的美學精神。

【參考文獻】

［1］李三平。高等數學與中學數學［M］。西安：陜西師范大學出版社，2006。

［2］數學課程標準研制組編寫。數學課程標準（實驗）解讀［M］。南京：江蘇教育出版社，2004。

［3］王尚志。數學教學研究與案例［M］。北京：高等教育出版社，2007。