基于ARIMA模型在社會消費品零售總額預測中的應用

戰毅 李亞杰

[摘要]為了研究ARIMA模型對經濟數據的預測，本文利用統計軟件EViews7.2，通過分析我國社會消費品零售總額從2003年1月到2010年12月的月度數據，建立了八種不同參數的乘法季節ARIMA模型。根據模型的預測精度、檢驗結果，本文確定了最優預測模型ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12，并運用該模型來預測我國2011年1月至12月的社會消費品零售總額，并與2011年實際數值進行比較，擬合效果良好。對于2012年的展望，筆者認為，其值仍將呈速度較快的上升趨勢。

[關鍵詞]乘法季節ARIMA模型社會消費品零售總額預測差分檢驗

一、引言

社會消費品零售總額（social retailgoods）（文中用SR簡稱）是指批發和零售業、住宿和餐飲業以及其他行業直接售給城鄉居民和社會集團的社會消費品零售總額。它能反映一定時期內人民物質文化生活水平的提高情況，反映社會商品購買力的實現程度，以及零售市場的規模狀況。

ARIMA 模型是用于一個國家或地區經濟和商業預測中比較先進適用的時間序列模型之一。本文將以我國2003年至2010年SR歷史數據為樣本，通過ARIMA 模型,試圖發現我國社會消費品零售總額的內在規律，進行后期預測，并通過與2011年數據比較檢驗來探究模型的準確性。然而，在對含有季節、趨勢等成分的時間序列進行ARIMA模型預測時，就不能像對純粹的滿足可解條件的ARIMA模型那么簡單了，一般的ARIMA模型有多個參數，沒有季節成分可以記為ARIMA(p,d,q)，其中d代表差分的階數。在有已知的固定周期S時，模型多了四個參數，可記為ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s。

二、模型的建立

本文以我國2003年至2010年96個月的SR歷史數據為樣本進行分析。來源：http://www.stats.gov.cn/was40/gjtjj_data_outline.jsp(國家統計局網站)。 數據趨勢如圖1所示。

1.數據分析及平穩化

在ARMA 模型中，時間序列是由一個零均值的平穩隨機過程產生的。也就是說，這個過程的隨機性質在時間上保持不變，在圖形上表現為所有樣本點都在某一水平線隨機上下波動。因此，對于非平穩時間序列，需要預先對時間序列進行差分平穩化處理。

(1)平穩性檢驗

利用Eviews7.2繪制2007年~2010年我國社會消費品零售總額的時間序列數據{Xt}，如圖1。通過圖1看出，我國SR序列具有明顯的非平穩性，呈現上升趨勢。

(2)對變量{Xt}進行差分

對變量{Xt}進行對數處理，即{LnXt}，得到{Wt}。對其進行一階差分，得到{Yt}，需要通過ADF識別其平穩性。利用EViews7.2，用ADF方法對差分序列進行平穩性檢驗，發現ADF=-3.33，而比1%置信水平上的臨界值大，所以應該接受θ=0的原假設，即一階差分所得序列有單位根。可以斷定，{Yt}仍表現為非平穩序列，因此要做第二次差分。第二次差分后，得到{Zt}，如圖2。用同樣的ADF方法檢驗，得到ADF=-10.79，比1%、5%和10%置信水平上的臨界值都小，因此{Zt}為平穩序列。

(3)對變量進行季節差分

繼續用EViews7.2畫出{Zt}的自相關圖，如圖3。可以看出{Zt}仍具有一定的季節性。顯然這也符合實際情況。例如，過年過節期間消費品零售量會增大，而年后節后出現減少的現象。因此對其進行季節差分(步長12)，得到{Ut}自相關函數圖，如圖4。不難發現，經過兩次差分和一次季節差分，自相關函數只在滯后1階處呈現相關性。{Ut}是平穩序列。

（4）白噪聲檢驗

在{Ut}平穩的情況下, 進一步做{Ut}的白噪聲檢驗。依據Q統計量檢驗法，仍根據圖4，只觀察滯后6，12,18，發現P值在滯后6,12,18均為0。由于平穩序列通常具有短期相關性，只要序列時期足夠長，自相關系數都會收斂于0。因此，此時可以拒絕原假設，即{Ut}不是白噪聲過程。也就是說，此模型可以用ARIMA模型進行分析和預測。當然，直接用EViews7.2中的“simple hypothesis test”，設置均值為0進行檢驗，也可以得到相同的結果。

2.時間序列模型的建立

(1）模型識別

在這里，筆者用ARMA模型進行識別，但很多系數估計值在顯著性水平下不顯著，即ARMA擬合效果不理想，因此，我們決定用乘法季節模型對這些數據進行建模。

根據ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s的形式，我們由上述分析可得d=2，D=1。由于平穩的時間序列的自相關函數和偏相關函數都是托尾的，因此該時間序列適合于ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s模型。從圖4分析，{Ut}自相關函數1階是顯著的，并且從第2階開始下降很大，數值也不太顯著，因此我們先設定q值為1。{Zt}的偏自相關函數1-4階都很顯著，并且從第5階下降很大，因此我們設定 p的可能值為1,2,3,4。相應的，P=Q=1,。于是對于序列{Ut}，我們初步建立了ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s模型，即ARIMA(p,2,q)×(1，1，1)12（p=1，2，3，4）（q=0，1）

(2) 模型估計

以ARIMA(4,2,1)×(1，1，1)12為例，借助EViews7.2進行估計。其中，常數項prob值0.8390，AR（2）為0.5174，AR（3）為0.5084和AR（4）為0.8427，其余在5%的顯著性水平下都是不顯著的。

三、模型的診斷和檢驗

同理，我們再來估計ARIMA(1,2,0)×(1，1，1)12和ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12 。我們發現第一個模型的SAR（12）項系數估計值仍不夠理想，為0.1466，而第二個模型除常數項的顯著水平為0.6320外，其它解釋變量的系數估計值在5%水平下均滿足。

我們再來看是否存在一個更好的模型。我們采用AIC準則進行定階，并從中選擇最優模型。但同時，我們也要兼顧各系數在檢驗水平10%下是否顯著。表5是我們試驗的幾個p, q值的AIC信息值。

雖然很多模型的AIC值更小，但其系數均存在不同程度的不顯著。因此，我們還是選擇ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12作為最終的模型。

下面我們再進行異方差檢驗。因為若線性回歸模型存在異方差性，則用傳統的最小二乘法估計模型，得到的參數估計量不是有效估計量，甚至也不是漸近有效的估計量；此時也無法對模型參數的進行有關顯著性檢驗。運用EViews7.2的white檢驗，顯然，不滿足異方差性，模型參數可以使用。

四、模型的預測

將2003年~2011年社會消費品零售總額的數據添加到數據表中，用EView7.2進行預測2011年SR值并進行比較。

1.首先選擇“dynamic”預測，即除了第一個預測值是用解釋變量的實際值預測外，其后各期預測值都是采用遞推預測的方法。在參數中，Theil inequality coefficient值為0.0445000，表明預測值比較準確。

2.我們再用“static”預測，即用解釋變量的真實值來進行預測。由Theil Inequality Coefficient=0.004182得知，預測的值比較準確。由于static預測的原理，顯然較dynamic預測比，static預測更加值得信賴。

3.比較真實值與預測值。這里用Eviews7.2預測2011年1月至12月的值，并與實際值比較算出相對誤差：1.46%，0.20%，1.14%，0.52%，0.92%，1.18%，0.99%，0.26%，0.01%，1.24%，0.19%，0.02%。不難看出，2011年1月至12月預測的效果較好，相對誤差均在2%以下，即預測值與實際觀測值擬合較好。通過AIC值尋找最優模型，把握了序列在預測的變化方向和程度。

4.對2012年預測

筆者在寫文章時統計局網站只公布了1月～2月的總體數據,3月份和4月份的數據，因此我們在這里對2012年1至6月進行預測,1和2月的相對誤差為1.30%，3月為3.58%，4月為4.34。這里僅供參考。這里由于采用的是dynamic預測（只有1,2月的總和值，無法直接用static預測法），不難發現3月份和4月份的準確度有所下降。

當然在這里，由于有2011年12月及以前的真實數據，因此預測2012年1月和2月數據的誤差會很小，因此如果一定要用static預測法，筆者個人認為也可以嘗試按2012年1月和2月預測值的比例將兩月總和真實值進行分配，并以此作為真實值來預測3、4月份的數據，相信其誤差也不會很大。但至于科學性及對將來預測的影響，還需要進一步的考量。

因此，建立的時間序列乘法季節ARIMA模型可以較好的擬合和預測社會消費品零售總額的波動規律和趨勢。分析的結果可作為相關政府部門制定政策以及一些零售業賣家制定銷售策略的依據。

五、總結

對于2012年，考慮到全球經濟狀況，我國經濟形勢，人民生活水平提高，物價上漲，市場競爭激烈等因素，我國社會消費品零售總額能將保持上升態勢。該模型也應該能夠擬合出較準確的短期預測值。但是，從dynamic預測不難看出，對于長期預測，此模型的準確度相對不足。可以想象，對于預測若干年后的社會消費品零售總額，其準確性將受到質疑。但對于短期預測或與其他很多模型相比，乘法季節ARIMA模型的準確度還是非常可靠的。

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