談一元二次方程的求解方法

成江

一元二次方程的求解和應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，方程思想也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思想. 一元二次方程的解法以一元一次方程為基礎(chǔ)，解一元二次方程的基本思想就是降次，把二次變?yōu)閮蓚€(gè)一元一次方程再求解. 一元二次方程的一般形式為ax2 + bx + c = 0，特點(diǎn)是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且是整式方程，如果不是整式方程，需要先把它整理成整式方程再進(jìn)行判斷. 一元二次方程的基本解法有四種：1. 直接開平方法；2. 配方法；3. 公式法；4. 因式分解法. 下面我們將舉例分析這四種方法的運(yùn)用.

例1 用直接開方法解下面的一元二次方程.

（1）（3x + 1）2 = 9；（2）（3x - 2）2 = （x + 4）2.

分析 直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法. 用直接開平方法解形如（x - m）2 = n（n ≥ 0）的方程，就可以把方程變?yōu)閤 - m = ±■. 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)（1）、（2）兩個(gè)小題可以用直接開方法來求解. 第（3）題方程左邊是個(gè)完全平方的展開式，可以把左邊變?yōu)槠椒降男问皆偈褂弥苯娱_方法. 第（4）小題的方程左邊是平方差的展開式，可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊再求解.

解 （1）（3x + 1）2 = 9.

直接兩邊開方，得：3x + 1 = ±3.（注意，不能漏了-3）.

由3x + 1 = 3得x1 =■，由3x + 1 = -3得x2 = -■，

∴原方程的解為：x1 = ■，x2 = -■.

（2）（3x - 2）2 = （x + 4）2.

3x - 2 = x + 4或3x - 2 = -（x + 4）.由3x - 2 = x + 4得x1 = 3，由3x - 2 = -（x + 4）得x2 = -■，

∴原方程的解為：x1 = 3，x2 = -■.

說明 用直接開方法解一元二次方程，一般不用把方程轉(zhuǎn)化為一般形式，再兩邊同時(shí)開方的時(shí)候應(yīng)注意方程只需在一邊取正負(fù)號(hào)，還應(yīng)注意不要丟解.

例2 用配方法解下列一元二次方程.

（1）2x2 - 4x - 2 = 0；（2）3x2 - 4x - 2 = 0.

分析 用配方法解方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），應(yīng)先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)a移到方程右邊，再將方程左邊配成完全平方的形式. 第（1）題可變?yōu)閤2 - 2x = 1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，第（2）題在配方時(shí)應(yīng)特別注意在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方. 配方之后，就可以按照直接開方法來解方程了.

解 （1）2x2 - 4x - 2 = 0.

二次項(xiàng)系數(shù)化為1，移常數(shù)項(xiàng)，得：x2 - 2x = 1.

配方，得：x2 - 2x + 12 = 1 + 12，即（x - 1）2 = 2.

說明 在使用配方時(shí)應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到一邊；再在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方. 最后變?yōu)橐贿吺峭耆椒降男问骄涂梢杂弥苯娱_方法進(jìn)行解題.

例3 用公式法解3x2 + 4 = 7x.

分析 用公式法就是指利用求根公式x = ■，使用時(shí)應(yīng)先把一元二次方程化成一般形式，確定a，b，c的值，然后代入到公式中進(jìn)行計(jì)算. 或者也可以先計(jì)算b2 - 4ac的值，當(dāng)b2 - 4ac≥ 0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a，b，c的值代入求根公式即可得到方程的根.

先判斷解的情況之后，如果Δ < 0，那么可以直接省去更多的運(yùn)算，方程無解.

解 化為一般式：3x2 - 7x + 4 = 0，求出判別式的值：Δ = b2 - 4ac = 1 > 0，代入求根公式：x = ■，∴ x1 = ■， x2 = 1.

說明 公式法是解一元二次方程的通用的方法，如果對(duì)其他方法不熟悉的情況下，都可以使用公式法來解一元二次方程，因此，這個(gè)公式一定要熟記. 用公式法一定要先把方程轉(zhuǎn)化為一般形式，明確公式中字母在題中所表示的量，再代入公式進(jìn)行計(jì)算. 注意最后的根如果有根號(hào)要化成最簡形式. 例4 用分解因式法解6x2 + x - 15 = 0.

分析 分解因式法就是把方程的一邊變?yōu)橐蚴较喑说男问剑硗庖贿叺闹禐?，解題的方法就是讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根. 第（1）題已經(jīng)是一般式，可直接對(duì)左邊分解因式；第（2）題要先整理成一般形式再進(jìn)行分解因式.

解 左邊分解成兩個(gè)因式的積得：（2x- 3）（3x + 5） = 0.

∴ 2x- 3 = 0，3x + 5 = 0，∴ x1 = ■， x2 = -■.

說明 在使用分解因式法時(shí)，方程的一邊一定要化為0，這樣才能把方程拆為兩個(gè)一元一次方程達(dá)到降次的目的.

從上述例題來看，解一元二次方程的基本思路是用各種方法把二次降為一次，向一元一次方程轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方法主要為直接開方法，配方后再直接開方，因式分解并使另一邊的值為0，或者直接利用公式法求解.

另外，在解一元二次方程時(shí)，要先進(jìn)行觀察，如果可以使用直接開放或者因式分解等方法，要盡量使用，這樣可以減少運(yùn)算量，降低出錯(cuò)率，找不到簡便方法的時(shí)候，才使用公式法進(jìn)行解題.