關(guān)于《孫子定理》的看法

溫千里

學(xué)過(guò)初等數(shù)論的人都知道：里邊有一個(gè)《孫子定理》，求未知數(shù)要用到大衍求一術(shù)，但我覺(jué)得這樣做太麻煩，而我有更好的方法：

比如：某數(shù)除以59余26，除以73余42，除以89余34，除以97余13，除以101余3，求最小的某數(shù).

（若用大衍求一術(shù)，至少用1小時(shí)（手算），我用15分可求出）.

解 根據(jù)題意（滿足后面兩條件）得：101x + 3 = 97y + 13，

即101x = 97y + 10（不定方程），

97y = 101x - 10，

97y = 97x + （4x - 10）.

設(shè)t = ■，97t = 4x - 10，

4x = 97t + 10 = 96t + 8 + （t + 2），取t = 2，則x = 51.

101 × 51 + 3 = 5154，5154是滿足除以97余13和除以101余3的最小正整數(shù).

增加第三個(gè)條件，即：

89x + 34 = （97 × 101）y + 5154，

即89x = 97 × 101y + 512089x = （110 × 89）y + 7y + 57 × 89 + 47.

設(shè)t = ■，89t = 7y + 47，7y = 89t - 47 = 84t - 49 + 5t + 2.

取t = 1，則y = 6.

6 × 97 × 101 + 5154 = 63936是滿足后3個(gè)條件的最小正整數(shù).

同理：73x + 42 = （89 × 97 × 101）y + 63936，

73x = 89 × 97 × 101y + 63894，

即73x = 11944 × 73y + 21y + 875 × 73 + 19.

設(shè)t = ■，21y = 73t - 19 = 63t + 10t - 19，取t = 4，y = 13.

則89 × 97 × 101 × 13 + 63936 = 11399065是滿足后4個(gè)條件的最小數(shù).

最后一個(gè)條件：

59x + 26 = （73 × 89 × 97 × 10）1y + 11399065，

即59x = 73 × 89 × 97 × 101y + 11399039，

59x = 1078832 × 59y + 21y + 193204 + 3，

即59t = 21y + 3 21y = 59t - 3，

21y = 42t + 17t - 3，21s = 17t - 3，17t = 17s + 4s + 3，取17v = 4s + 3，取s = 12，t = 15，y = 42，則73 × 89 × 97 × 101 × 42 + 11399065 = 2684745643.這是此題的最小解.