談談初中函數教學中的幾個原則

呂思宏

函數是研究變量間關系的重要載體，是研究現實世界變化規律的一個重要模型，是數學應用的重要工具.在初中數學中，函數是非常重要的內容.學生通過對函數內容的簡單初步學習，不僅可以為高中函數內容的繼續深入學習打下一些必需的基礎，而且使初中學生對數學思想和數學方法有初步的接觸和理解，可以為學生初步掌握和應用一些重要的思想方法，例如通過描點和作圖研究函數的方法以及待定系數法和數形結合思想等提供學習和實戰的機會.

初中數學中，函數內容主要包括一次函數、反比例函數和二次函數等三種；學習重點是包括函數的定義、圖像（作圖與識圖）和性質等主要內容以及待定系數法，數形結合法等思想方法.考慮到函數的抽象特征和初中學生的學習基礎和認知規律等因素，教材將一次函數安排在八年級上冊，反比例函數安排在九年級上冊，二次函數則安排在九年級下冊.

通過多年的教學實踐，筆者認為，要搞好初中函數的教學，教師需要堅持以下幾個原則.

一、重視函數概念教學，切實理解變量對應變化本質

1. 在函數概念的形成過程中，教師要有充分的耐心去做好鋪墊

數學最忌的是機械性記憶，例如在一次函數教學中，首先結合學生日常生活的實例，建立一次函數模型.如菜農賣菜，每千克2元，但要交納5元錢的衛生費，求總收入y（元）與所賣菜x（千克）之間的關系（y = 2x - 5）.讓學生互相探討，并多列舉一些這種類型的實例，教師引導歸納，形如y = kx + b（k ≠ 0，b為常數）叫做一次函數.重點說明自變量是一次的整式.通過學生自主舉例，互相討論，教師再歸納總結，使學生牢固掌握一次函數的概念，避免了機械記憶.

2. 要幫助學生理解函數不同表示形式之間的關系和轉換

為了讓學生體會三種表示方式之間的聯系，就在函數的學習過程中讓學生動手運用三在種表示形式，在動手和訓練中理解他們的同一性. 例如：在學習利用三種方式表示二次函數時：已知矩形的周長為20 cm，并且設它的一條邊長為x cm，面積為y cm2. y隨x變化而變化的規律是什么？你能分別用函數表達式、表格和圖像表示出來嗎？

（1）用函數表達式表示：（2）用表格表示：（3）用圖像表示：

旨在體會函數的三種表示方式描述的是同一對象，因此這一對象的性質可以從不同表示方式中反映出來.但是在解決具體問題時，通常利用哪種表示方式方便就用哪種方式表示.

二、要多加強學生動手描點作圖訓練，在動手和感悟中促進對函數圖像和性質的理解

1. 學生根據規定的程序親自動手作圖的要求要堅持不放松.日常教學中常常發現有的老師重性質重應用重練習，忽視基礎情況和學生認知規律，包辦代替過多，在研究函數圖像的過程中，不重視圖像的形成過程，從列表到描點到作圖，直接由老師完成甚至直接出示結果，盲目讓學生記憶背誦圖像性質和特點，學生缺乏必要的鋪墊和理解過程，大腦收到的刺激不夠，導致對圖像和解析式無法牢固形成一個整體的問題，最終也就無法實現靈活應用，達不到應有的學以致用的目的.而且從最簡單的正比例函數開始就堅持用最基本的步驟從列表到描點和連線的方法得到圖像，也會使學生形成習慣和理解掌握研究所有函數的一般方法步驟及其內容.

2. 教學中要注意引導學生由數到形，再由形到數，做到數、形的有機結合，這樣才能更好地掌握函數的性質. 為了讓學生較為直觀地掌握一次函數的性質，我把一次函數的圖像形象地看成書法當中的“撇”和“捺”，即當k > 0時，直線呈“撇”的趨勢，此時如果b > 0，則直線與y軸交于y軸上半軸，我們稱之為“上撇”，如果b < 0，則為“下撇”.而當k < 0時，直線呈“捺”的趨勢，此時如果b > 0，則直線與y軸交于y軸上半軸，我們稱之為“上捺”，如果b < 0，則為“下捺”.凡是“撇”，y隨x的增大而增大，凡是“捺”，隨的x增大而減小.b > 0直線交y軸與上方，b < 0時則在下方.這樣學生就感到直觀易懂，較好地掌握一次函數的性質和變化特征.從而實現已知解析式就可以畫出大致圖像，而看到圖像就能說出其性質的目的.

三、重視一次函數教學，促進學生對函數研究內容和研究方法的適應

一次函數是學習函數的“入門篇”，也是初中數學教學的一個重點，同時也是一個難點.它研究的是一個變化的過程，是數與形的結合.學生以往所學的數學，都是相對固定不變的值，而一次函數則是一個變化的過程，從不“動”到“動”，數學思想上要有一個較大的轉折，也是學生對數學認識上的“更上一層樓”.而在一次函數的教學中，大多數學生的思想還停留在“不動”的數學觀上，要使學生的數學觀從“不動”到“動”，得到一個較大的飛越，切入點就是在一次函數的學習上，教師必須把握好這一知識點的教學，為今后的學習作好鋪墊.

1. 一次函數的充分學習，可以為學生對函數內容的學習有比較清晰的理解和把握.

學習一次函數時，引導學生明確從三個方面來學習，先將實際問題抽象為數學問題，建立函數關系式模型，師生歸納總結出一次函數和正比例函數的定義及一般表達式；再研究一次函數的圖像和性質，最后是應用一次函數解決實際問題.在學習反比例函數和二次函數時引導學生思考：我們在學習一次函數時是從哪幾個方面來學習的？類比一次函數的學習來學習反比例函數和二次函數.

2. 一次函數的研究過程，可以幫助學生了解函數的研究方法初步理解并應用中學數學中常用的數學思想和數學方法來解決問題.

在初中函數的教學過程中，教師應歸納總結函數的思想方法，并將之內化到自身的教學實踐中來.總體說來，函數的思想方法與初中函數教學中的思想方法一脈相承、相互印證.由此，本文概述了三種初中函數教學中的思想方法，包括相互聯系的發展關系、抽象與個體的聯系、數形結合觀念，等等.初中函數教學中若能切實彰顯上述的思想與方法，將會促成更大的教學成效.

幫助學生扎實練好用待定系數法求函數表達式，待定系數法，很多學生不能很好地理解，在教學中，應循序漸進的原則，先從復習二元一次方程組入手，學生對二元一次方程組是比較熟悉的，然后把題目稍改動一下，如：已知y = kx + b，并且當x = 3時，y = 5，當x = -1時y = 2，求k與b的值.這樣學生覺得還是在解二元一次方程組，并沒有想象當中的那么難，增強了他們學習的自信心，再把上題改為，直線y = kx + b經過（3，5）、（-1，2）兩點，求直線的解析式，這時學生就能輕松地完成了.學生就感受到原來用待定系數法求一次解析式，就是通過解二元一次方程組來求待定系數k和b的值，點的橫坐標看作x的值，而縱坐標看作y的值罷了.利用學習上的遷移再求反比例函數和二函數表達式時學生就會建立通過解方程（組）來求待定系數，從而確定表達式的方法.

一次函數的學習過關，可以直接為反比例函數、二次函數的學習打好基礎.

四、課堂教學中要堅持低起點和分解課堂教學目標，不求一步到位；把握循序漸進和由易到難的原則

例如在研究一次函數y = kx + b（k ≠ 0）的圖像中，有一節是研究k，b取值對圖像的影響問題，我是這樣設計的：

1. 讓學生猜想：一次函數的圖像會是什么形狀？

2. 驗證：在同一平面直角坐標系中畫出下列函數的圖像.（1）y = ■x；（2）y = ■x - 3；（3）y = -2x；（4）y = -2x - 3，觀察并思考一次函數的圖像是什么形狀.

3. 結論：一次函數y = kx + b（k ≠ 0）的圖像是一條直線.

4. 深入思考：既然一次函數的圖像是一條直線，那一般情況下，畫一次函數的圖像時，取幾個點就可以？通常去什么樣的點？舉例說明.

5. 進一步觀察下列各組圖像分別有什么特點？能否從中發現一些規律.（1）y = ■x與y = ■x - 3；（2）y = -2x與y = -2x - 3；（3）y = ■x - 3與y = -2x - 3；（4）y = ■x與y = -2x. 我們可以充分地讓學生自己對各種圖像進行觀察和對比，在分步驟作圖和觀察的基礎上，通過歸納就可以得到k，b取值對y = kx + b（k ≠ 0）的圖像的影響了.

類似的例子很多，需要教師對知識規律和學情的準確把握，這樣的研究方法，就可以使學生在循序漸進中，由易到難，很好地理解和掌握系數對圖像的影響了.

函數是初中數學的重要內容，在課堂教學中，讓學生扎扎實實地掌握好函數的性質，快速提升應用能力是每個老師的共同想法. 但有個別老師在實踐中不認真研究方法，片面追求效率，課堂中往往容易出現忽視過程，采用以練代學的方法，教學中盲目求多求深，囫圇吞棗，不但起不到應有的作用，而且忽視規律和學生的感受，容易損害學生學習的興趣和動機.