例談反例教學在數學學習中的作用

紀昌江

從邏輯學上講，若說明一個命題是正確的，必須經過嚴密的推證；而要說明一個命題是錯誤的，卻只須舉出一個“反例”，即舉出一個符合命題的條件而不符合該命題的結論（或與某一已經證實的正確結論）的示例就可以了，這種與命題相矛盾的示例即稱為反例.

對于一個命題來說，反例是簡明有力的否定方法；而對于學生的學習過程來說，它又是加深對概念、定理等數學對象理解的重要手段，更是我們認識一個新問題（或新數學對象）過程中的認知規律之一. 在數學教學中教師若能通過反例的教學，對學生所犯的錯誤加以剖析，讓學生從分析中認識到“錯誤”產生的原因，這對學生準確而深刻地把握概念，掌握知識與方法，預防知識性或方法性的錯誤，乃至提高學習數學的興趣，形成嚴謹的思維品質，都將會起到積極的作用.

一、運用反例，深入概念內涵，拓展概念外延

教育心理學研究表明：“概念或規則的正例傳遞了最有利于辨別的信息. ”即人們在獲得一個正確認識的過程中，往往要經過正反兩方面的比較和鑒別，才能完整地將新的認知“同化”于原有的認知結構之中. 因為正面示例，只是回答了什么情況下“是”的問題，而“反例”顯然通過另一個側面抓住該概念的本質，回答了什么情況下“不是”的問題，即從認知的反方向，幫助學生加深對概念的認識.

例1 在學習定理“兩邊極其夾角對應相等的兩個三角形全等”時，同學們自然想到結論“有兩邊及其中一邊的對角對應相等”，教師可以引導學生動手畫圖，尋找是否會出現“例外”的情況，結果會出現這樣的反例：如圖，在△ABC和△ABD中，AB = AB，BC = BD，∠A = ∠A，但△ABC與△ABD不全等. 由此可以引導學生思考：需要再添加什么條件兩個三角形就全等了，由畫圖可知，只要兩個三角形都是銳角三角形，它們就全等了.

二、引入反例，深刻理解定理，全面掌握性質

學生在學習一個新的定理、性質時，往往會因為種種原因而忽略定理、性質中關鍵詞語的理解與挖掘，從而造成認知“缺陷”，導致問題解決時的錯誤運用. 若在教學中恰當引入反例，可以幫助學生牢記定理的關鍵詞語，并從“認知策略”上全面認識和掌握新知識，繼而形成良好的思維習慣與方式.

三、構造反例，準確把握法則，靈活運用公式

新課程要求變革傳統、單一的課堂，讓學生有機會在產生知識的過程中學習. 心理學家對人類認知活動的研究表明：對一個新事物的理解與運用，只有建立成功的經驗和失敗的教訓的互相作用之下，有了一定的過程，才能真正地正確理解及靈活運用. 數學中的很多性質、法則都是以公式的形式出現的，它們也一般都有一定的適用范圍. 運用過程中，學生出一點錯誤本屬正?，F象. 但是，教師應該讓這種“正常”現象，盡快地在學生的認知過程中“自覺”消失. 教學中若有目的地恰當引用一些反例，能加深學生對公式、法則的適用條件的認識與理解，使他們達到對公式、法則有效的理解與掌握，從而在對比中積累“靈活運用”的機智，讓這種“正?！爆F象化歸“不正?！?，最終從暫存的記憶中抹去.

四、借助反例，增強防范意識，提高糾錯能力

由命題結構可知，中學范疇的數學結論可劃分為三類：① 充要條件型，② 充分條件型，③ 必要條件型. 特別是②③兩種類型，在問題解決的應用時，學生經常會出現差錯，并且極不易發現錯誤所在. 倘若讓學生在“反例”和“反問”中探索、討論，則可增長“策略性知識”，修正原有的“陳述性知識”模塊，提升其思維的準確性和防錯意識，幫助他們發現問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法.

例4 已知關于x的方程x2 - mx - m + 3 = 0的兩個根都大于-5，求m的取值范圍.

錯解 由題意得， x1 > -5，x2 > -5，Δ ≥ 0，所以x1 + x2 = m > -10，x1x2 = -m + 3 > 25，Δ = m2 - 4（-m + 3） ≥ 0，

即m > -10，m < -22，m ≥ 2或m ≤ -6，所以這樣的m不存在.

反例 若取m = 2時方程為x2 - 2x + 1 = 0，它的兩個根為1都大于-5. 所以這道題并非無實數解. 所以上述解答是錯誤的.

事實上，x1 > -5x2 > -5與x1 + x2 > -10x1x2 > 25并不等價. 前者是后者的充分條件，但不是必要條件，其錯誤的原因是將充分條件當作“充要條件”使用了.

新課程改革要求教師幫助學生設計恰當的學習活動和形成有效的學習方式. 數學教學中，適時地、恰當地引入一些反例，對于鞏固和掌握概念、公式、定理和法則，培養和發展學生的思維能力，特別是批判思維、逆向思維和邏輯思維能力，活躍課堂氣氛，都有著不可估量的作用.