加法結合律在有理數運算中的應用

劉凱

摘 要：教師結合一些相關案例，主要闡述了應用加法結合律使有理數運算簡便的幾種常用方法：湊整結合法、同號結合法、同分母結合法、同形結合法、同和結合法、拆項分解相消法。

關鍵詞：湊整；同形；同和

學生在初一學了加法結合律：（a+b）+c=a+（b+c），可使復雜的計算題變得簡單易做。比如計算320+427+73，有三種方法：（1）（320+427）+73；（2）（320+73）+427；（3）320+（427+73）。我認為第三種方法最好，因為427與73相加可以湊成較整的數500，再計算500+320就簡單了。

經過多年教學經驗的積累與不斷的自我反思，我總結出以下幾種結合的方法。

一、湊整結合法

有理數加減法中有能湊成較“整”的數，如-+=1，2+98=100，需要學生仔細審題，獨具慧眼，看破玄機，把有特殊關系的數有機結合起來，使計算簡便。

例1 計算：

-23-5+（-77）

=[（-23）+（-77）]-5

=-100-5

=-105。

另外，“互為相反數的兩數的和是零”是最常用的結合法，如-6+6=0等。

二、同號結合法

在有理數的加、減混合運算中經常用到的是同號結合法，即把正數與正數相加，負數與負數相加，然后再把所得的結果相加，學生很容易就能想到。

例2 計算：

（-40）-（+27）+19-24-（-32）

=[（-40）+（-27）+（-24）] +（19+32）

=（-91）+51

=-40。

不過，這道題還有更簡便的結合方法：

解：原式=（-40）+（-27）+19+（-24）+32

=（-40）+[（-27）+（-24）] +（19+32）

=（-40）+（-51）+51

=（-40）+[（-51）+51]

=-40+0

=-40。

但是，這樣的結合方法很少有學生能想到，這就需要教師要培養學生的觀察與判斷能力。

三、同分母結合法

分數的加減是一個難點問題，包括同分母和異分母相加減。同分母分數相加減相對來說比較簡單。因此，如果在計算時遇到有同分母分數相加減就可以把它們結合在一起，使運算簡便。

例3 計算：

（1）2+3+1-2+

=（2+1）+（3-2）+

=3++

=3++

=4。

（2）-（-）+++（-）

=+++（-）

=（++）+（-）。

（注：、、結合在一起通分比較容易，、結合在一起通分比較容易）

此例分數之間的結合不明顯，值得我們推敲一下。

四、同形結合法

在求幾個分數和其他類數字和差時，把分數與其他同類型的數分別結合，使計算簡便。

例4 計算：

-2.1++（-2）++0.5+（-5）

=[（-2.1） +（-2）+0.5+（-5）] + （+）

=-8.6+2

=-6.6。

（注：分數結合在一起，整數與小數結合）

五、同和結合法

此法適用于拓展和找規律類問題。這類問題一般項數比較多，如果從左向右依次運算是非常麻煩的，這就需要我們把思維打開，充分發揮觀察能力，并且能夠進行嘗試解析，總結出一些恰當的規律來，使運算簡便。

例5 快速計算：

-1+3-5+7-…-17+19。

通過觀察可以發現，此例中奇數項都是負數，偶數項則都是正數，并且發現：-1+3=2，-5+7=2，…，-17+19=2，也就是從第一項開始，每兩項的和都等于2，一共有10個2相加。這樣，我們就發現了此題的規律，可以快速并且準確地解決問題了。具體的過程如下所示：

解：原式=（-1+3）+（-5+7）+…+（-17+19）

=2+2+…+2

=2×5

=10。

六、拆項分解相消法

這個方法適用與一些探究性比較強的問題，而且難度比較大，能掌握這種方法的學生不是很多。解決這類問題，需要我們具有“一分為二”的數學思想，比如可以寫成，接著可以拆分成-，即1-的形式；可以寫成，可以拆分成-的形式……

例6 計算：

+++…+。

本題與第一題形似，但又有細微的區別——本題中的分母是相鄰兩個奇數的乘積。這兩題的解法相同，但存在細節上的差異：

解：原式=×（1-）+×（-）+…+×（-）

=×[（1-）+（-）+…+（-）]。

（注：以下解題過程同（1））

經過拆項分解，把互為相反數的兩項結合起來達到消項的目的，使計算變得非常簡單易做。

以上是我根據自己的教學實際情況總結出來的一些規律，我們在運用時，要根據具體問題，靈活地選擇恰當的方法，才能達到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1]翟運勝.《加法交換律和加法結合律》教學設計及意圖[J].教學與管理，2009（12）.

[2]趙長巧.“運算律（加法交換律和加法結合律）”教學設計[J].中學教學參考，2011（2）。

（新沂市合溝中學）