高中數學函數與方程的思想探析

陳一君

摘 要：函數與方程的思想是高中數學的重要思想方法之一。函數的思想即將方程及不等式的問題轉化為函數的問題，借助函數的圖像及性質進一步解決問題；方程的思想是把y=f（x）函數看做方程f（x）-y=0的問題，利用方程進一步研究。

關鍵詞：數學；函數思想；方程思想

一、知識內容

1. 函數的思想

就是利用函數的圖像和性質分析問題，通常將一些方程、不等式的問題轉化為函數的問題。具體體現有求方程的根的問題、不等式恒成立的問題，特別是一些超越方程或超越不等式中，巧用函數的思想，會使問題迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函數構造成方程，利用方程進一步研究方程的思想。具體體現有求函數的值域的問題、解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關系問題，都可利用解二元方程組來巧妙解決。

二、典例分析

1. （題型1）構造函數，并利用函數的圖像和性質來解決有關問題

例1 若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。

分析：方程2x+2x=5與方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以應找到兩個方程之間的聯系，轉化為函數的思想來解答。

解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x…（1）

2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x… （2）

由（1）式知x1可以看做函數y=2x-1與函數y=-x的產生的交點A的橫坐標；

由（2）式知x2可以看做函數y=log2（x-1）與函數y=-x產生的交點B的橫坐標。

而y=2x-1與y=log2（x-1）分別由y=2x與y=logx同時向右平移一個單位得到y=2x與y=logx函數圖像關于y=x對稱，即y=2x-1與log2（x-1）函數圖像關于y=x-1直線對稱。因為y=x-1與y=-x互相垂直，其交點C坐標為（，），同時A、B兩點關于C點對稱，所以x1+x2=2×=。

點評：本例由已知方程構成函數，巧用指對函數圖像的對稱性來巧妙地解決問題。

變式：設a，b∈R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。

分析：觀察已知條件中結構形式，構造函數f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）為奇函數且y=f（x）在R遞增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。

例2 設不等式2x-1>m（x2-1）對滿足的一切實數恒成立，求實數的取值范圍。

分析：不等式f（x）≥g（x）恒成立，往往都是構造F（x）=f（x）-g（x），往求F（x）min，使得F（x）min≥0，即可達到解決問題的目的。若構造二次函數F（x）=2x-1-m（x2-1），m∈[-2，2]，往求F（x）min，利用分類討論思想較為復雜化，若變換以m為主元，x為輔元，即一次函數F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2≤m≤2，往求F（m）max，即可使得F（m）max<0。

只要f（-2）<0f（2）<0-2（x2-1）-（2x-1）<02（x2-1）-（2x-1）<0

∴實數x的取值范圍為（，）。

點評：本例將不等式恒成立問題構造函數，利用函數的性質巧妙解決問題。

2. （題型2）建立方程，利用方程的思想解決有關問題

例3 如果函數y=的最大值是4，最小值是-1，求實數的值。

分析：函數y=的定義域為R，值域為-1≤y≤4，由y=轉化為yx2-ax+y-b=0關于x的一元二次方程有實數根，使用到別式。

解：y=定義域為Ryx2-ax+y-b=0有實數根 （-a）2-4y（y-b）≥04y2-4by-a2≤0。

∵-1≤y≤4，∴4y2-4by-a2-=0產生有兩根-1，4。

∴-1+4=-1+4=a=±4b=3。

點評：本例巧妙地將函數問題轉化成方程根的問題解決問題。

例4 已知函數f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）。

（1）當a>1時，求證：函數f（x）在（0，+∞）單調遞增。

（2）若函數y=f（x）-t-1有三個零點，求的值。

分析：函數y=f（x）-t-1有三個零點轉化方程f（x）-t-1=0有三個根，再轉化成f（x）=t±1方程有三個根，再轉化成函數y=f（x）與函數y==t±1有三個交點，利用函數與方程思想相互轉化。

解：（1）f'（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。

∵x>0，a>1，∴ax>1，ax-1>0，lna>0，2x>0。

∴（ax-1）lna+2x>0，即f'（x）>0。∴y=f（x）在（0，+∞）是單調遞增的。

（2）函數y=f（x）-t-1有三個零點？圳方程f（x）-t-1=0有三個根？圳f（x）=t±1方程有三個根？圳函數y=f（x）與函數f=t±1有三個交點。

由（1）式知當a>1時，函數f（x）在（0，+∞）單調遞增，∵f'（x）=（ax-1）lna+2x，當a>1時，若x<0時ax-1<0 lna>0，2x<0，∴（ax-1）lna<0，f'（x）<0。

∴當a>1時，y=f（x）在（-∞，0）單調遞減。

當00時，ax-1<0 lna<0，2x>0，∴（ax-1）lna<0，f'（x）>0。

當a>1時，y=f（x）在（-∞，0）單調遞增。

當00 lna<0，2x<0。

∴（ax-1）lna<0，f'（x）<0。

當0

∴y=f（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增。

∵y=f（x）與y=t±1有三個不同的交點，又∵t+1>t-1，∴y=t-1=f（0）=1時，且t=2時滿足要求。

∴t=2。

點評：本例巧妙利用函數與方程相互轉化的思想解決問題。

總之，函數與方程的思想在高中數學中是一種非常重要的思想和方法，涉及的知識點多，也是高考考查的重點，我們只有教會學生去分析問題、轉化問題，才能達到解決問題的目的。

（南昌大學附中）