中職學生數(shù)學解題能力的培養(yǎng)

段春華,劉江妹

摘 要 中職數(shù)學教學的首要任務(wù)是培養(yǎng)學生的解題能力。培養(yǎng)學生解題能力的策略包括：培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的審題習慣，探求可行的解題途徑，合理運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想、代歸與轉(zhuǎn)化思想等尋找解題方法，注重解題后學生反思能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 中等職業(yè)學校；數(shù)學教學；解題能力

中圖分類號 G712 文獻標識碼 A 文章編號 1008-3219（2012）05-0036-03

中職數(shù)學教學的目的是培養(yǎng)學生學習專業(yè)及未來生活所必備的數(shù)學知識和應用能力，其首要任務(wù)是培養(yǎng)學生的解題能力。提高學生解題能力應始終貫穿于中職數(shù)學教學的始終。

一、培養(yǎng)良好的審題習慣，提高審題能力

數(shù)學題目一定包括已知條件和求解問題兩個部分，審題是對條件和問題進行全面認識，對與條件和問題有關(guān)的全部情況進行分析研究。審題能力主要是指充分理解題意，把握題目本質(zhì)的能力，分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡、轉(zhuǎn)化已知條件和所求問題的能力。教師在教學中要強調(diào)審題的重要性，在講解例題時應做出認真審題的示范，并要求學生養(yǎng)成認真審題和分析題意的習慣。

首先，通過審題，分析得出題目的隱藏條件。有些題目已知條件不夠明顯，為此，要根據(jù)已知定理、公式或條件認真分析問題，找出隱藏條件，并將其簡化。

例題1：已知tanα=3，求的值。

分析：本題的已知條件是tanα=3，而所求的問題不含tanα，即給定的條件對所求解的問題來說不明顯，這就需要分析找出隱藏的條件，將所求解的問題經(jīng)過恰當?shù)淖冃危D(zhuǎn)化為含已知條件tanα的表達式。

由于tanα=3，可知cosα≠0（隱藏條件），又由sin2α+cos2α=1（隱藏條件），可得：

原式=

=

==

其次，通過審題，可將已知條件具體化、復雜問題簡單化。有些題目已知條件不夠具體，而需要解答的問題比較復雜，這時可從分析問題入手，將其簡化，并從中找出具體的已知條件。

例題2：已知正數(shù)a1，a2，L，an成等差數(shù)列，求證：

分析：求證的等式左邊比較復雜，且各分式的分母是根式，因此化簡可從左邊開始，先將各分式分母有理化，即將求證化為：

由于a1-a2=a2-a3=…=an-1-an=-d（設(shè)d是公差）

所以上式可化為：

即（）（）=

（n-1）d

亦即an=a1+（n-1）d（通項公式，是具體的已知條件）

于是，可從化簡中找出具體的已知條件，并獲得本題的證明方法。

二、探求可行的解題途徑

探求解題途徑就是分析尋找解題方案，若方案可行，則執(zhí)行方案，解答題目，并掌握解題方法。因此，分析思路、探求途徑是解題教學的重點，也是提高學生解題能力的關(guān)鍵。

教師應教會學生靈活應用數(shù)學知識、數(shù)學思想和數(shù)學方法分析解題思路，尋找解題方法。中職數(shù)學思想包括數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、整體思想等。數(shù)學方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學歸納法、反證法、分析法、同一法、配方法、整體法等基本方法。只有正確理解和牢固掌握數(shù)學基本知識、思想方法，并能合理選擇和靈活應用，才能較迅速、順暢地解決中職數(shù)學中的一些基本問題。

（一）數(shù)形結(jié)合思想

利用數(shù)形結(jié)合思想解題的要領(lǐng)是：對于研究距離、角、面積或體積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解；對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖像求解（函數(shù)的零點，頂點是關(guān)鍵點），做好知識的遷移與綜合運用。

（二）分類討論思想

分類討論是一種重要的數(shù)學思想方法，當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。

需要采用分類討論的數(shù)學思想解題的問題大致可歸納為如下幾種：涉及的數(shù)學概念是分類討論的；運用的數(shù)學定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；求解的數(shù)學問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；數(shù)學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導致不同的結(jié)果。

（三）函數(shù)方程思想

函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式。函數(shù)思想就是把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達出來，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題；方程思想就是在某變化過程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程（或方程組），通過解方程（或方程組）求出它們。函數(shù)與方程是兩個有著密切聯(lián)系的數(shù)學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決，很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法來解決，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系形成了函數(shù)方程思想。

（四）化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到問題解決的一種數(shù)學思想。一般總是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

化歸與轉(zhuǎn)化是中職數(shù)學解題中常用的思想方法，采用此方法去探求數(shù)學解題途徑，就是把復雜繁難的數(shù)學問題通過一定的數(shù)學思維、方法和手段，逐漸轉(zhuǎn)化為熟知的簡單的數(shù)學問題來解決。

（五）整體思想

整體思想就是在解決數(shù)學問題時，將要解決的問題看作一個整體，在對問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、已知條件和所求問題綜合考慮后得出結(jié)論。

例題3：求值(tan85°-tan5°)（tan80°-tan10°）（tan75°- tan15°)(tan70°-tan20°)(tan65°

-tan25°)(tan60°-tan30°)(tan55°-tan35°)(tan50°-

tan40°)

分析：原式可化為：

評注：（1）由于本例乘積的每一項涉及的角度不完全是特殊角，所以采取單項計算的方法無法求出結(jié)果，只有運用整體思想，綜合考慮，才能達到目的。

（2）在數(shù)學解題中常常碰到求一個或多個量（常量或變量）的和、差、積、商等組合的問題，但根據(jù)已知條件又不能直接求出這些量的值，這時就可嘗試應用整體思想。

三、培養(yǎng)反思能力

要求學生解題后養(yǎng)成良好的回顧反思習慣，是中職數(shù)學解題教學中非常重要的一環(huán)。一是檢驗求解結(jié)果。主要是檢查結(jié)果是否正確無誤，推理是否有理有據(jù)，解答是否詳盡無漏。二是討論解法。主要是尋求其他不同解法或改進解法，分析解法特點、關(guān)鍵環(huán)節(jié)和主要思維過程，尋找規(guī)律、一題多解等。有利于學生開拓思維、積累經(jīng)驗、整理方法，有助于增強學生思維的靈活性，提高解題能力。三是解題后的總結(jié)、歸納、推廣。

例題4：求（x-1x）9的二項展開式中x3中的系數(shù)。

如果單純地講解這道題，并不能給學生多少教益，講完之后，仔細琢磨、總結(jié)、歸納，這道題的真正價值還在于該題可揭示五種類型題目的相互變通，即解答下列五種類型的題目方法相同，都是利用二項展開式的通項公式，也就是多題一解。

（1）計算題：求（x-1x）9的二項展開式中x3的系數(shù)；

（2）證明題：試證明（x-1x）9的二項展開式中不含常數(shù)項；

（3）判斷題：（x-1x）9的二項展開式中是否含有二次項；

（4）填空題：（x-1x）9的二項展開式中一次項是 ；

（5）選擇題：（x-1x）9的二項展開式中x5的系數(shù)是。

解題后的反思、總結(jié)、推廣，也是培養(yǎng)學生積極思考、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造突破能力的有效途徑，如果能讓學生養(yǎng)成習慣，必將大大提高學生的解題能力。

參考文獻：

[1]郭富喜.數(shù)學問題第1898題[J].數(shù)學通報，2011（2）:65.

[2]段春華.在中職數(shù)學教學中培養(yǎng)學生思維能力的實踐[J].職業(yè)技術(shù)教育，2011（11）:54-56.

Cultivation of Abilities for Solving Mathematical Problems of Secondary Vocational School Students

DUAN Chun-hua, LIU Jiang-mei

(Leiyang Normal School of Hunan Province, Leiyang Hunan 421800, China)

AbstractThe foremost task for teaching of mathematics of secondary vocational education is to cultivate students abilities of solving problems, and the main strategies include: cultivating students good habits for examining problems and explore feasible approaches; reasonably apply the ideas of combination of figures and shapes, classification discussion, function equation, etc. to try to cultivate students reflection abilities.

Key wordssecondary vocational schools; teaching of mathematics; problem solving abilities