微積分概念教學(xué)研究之述評

高雪芬

摘要 微積分的概念定義中蘊(yùn)含著豐富的思想方法。微積分概念學(xué)習(xí)中有哪些問題？如何進(jìn)行微積分概念教學(xué)的改革實(shí)驗(yàn)，概念教學(xué)的效果如何？現(xiàn)有的研究具有哪些特點(diǎn)，能從國外的研究中學(xué)到些什么？關(guān)于微積分概念教學(xué)還有哪些需要進(jìn)一步研究的問題？本文著重以Chappell的研究為例，分析了上述問題。

關(guān)鍵詞 微積分；概念教學(xué)：述評；研究課題推薦

中圖分類號 G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

文章編號 1005-4634（2012）05-0036-03

0 引言

近年來，各國出現(xiàn)了諸多與微積分概念有關(guān)的研究。如以色列Kidron和西班牙Barbe等人對“極限”概念理解的討論，英國Bingolbali、美國Dubinsky對導(dǎo)數(shù)概念理解的研究等。研究表明，很多學(xué)生對連續(xù)性、可導(dǎo)性、二階導(dǎo)數(shù)等缺乏正確理解。一些學(xué)生對極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)的概念意象是片面、沖突、甚至是缺乏的，不理解它們兩兩之間的聯(lián)系。有的學(xué)生在計(jì)算方面取得高分卻不能正確理解微積分概念及其相互關(guān)系。在教學(xué)時(shí)間有限的前提下，學(xué)生概念理解與技能發(fā)展似乎成了一對矛盾，該如何有效進(jìn)行微積分概念教學(xué)？

美國科羅拉多州立大學(xué)Kelly K.Chappell采用量化研究和質(zhì)化研究結(jié)合的方法，探討了教育環(huán)境（基于概念教學(xué)的或者傳統(tǒng)的）對學(xué)生概念理解、應(yīng)用技能、遷移能力等方面的影響。研究方法細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)、實(shí)驗(yàn)效果顯著，對我國的數(shù)學(xué)教育改革很有啟示，值得我國大學(xué)教師及教育研究者借鑒。

1 Chappell研究概述

文章研究了教育環(huán)境（基于概念教學(xué)的或者傳統(tǒng)的）對學(xué)生概念理解、應(yīng)用技能、遷移能力等方面的影響。全文共7節(jié)，第1節(jié)介紹研究背景；第2～5節(jié)分別為量化、質(zhì)化研究的方法與結(jié)果，第6、7節(jié)為研究的結(jié)論與展望，各節(jié)具體內(nèi)容如下。

1）背景。美國的微積分教學(xué)改革自20世紀(jì)80年代蓬勃發(fā)展起來，目的在于注重本質(zhì)，幫助學(xué)生獲得對微積分思想的深刻理解。雖然已有很多文獻(xiàn)描述了教學(xué)改革的情況，但基于觀察或?qū)嶒?yàn)的研究較少，所以Chappell等人開展了概念教學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究，分析教育環(huán)境對學(xué)生能力、技能的影響。

2）量化研究方法。在綜合考慮了教師教學(xué)水平、所獲得學(xué)生評價(jià)及擅長教學(xué)風(fēng)格后，選擇4位教師參與研究。其中概念班的兩位教師注重概念教學(xué)：課堂大部分時(shí)間（75%）用于幫助學(xué)生更好理解概念上，只有少部分時(shí)間（25%）用來訓(xùn)練技巧；注重一題多解與多種表征；學(xué)生需要展現(xiàn)和解釋他們在解決問題時(shí)用到的不同方法。傳統(tǒng)班的兩位老師則恰恰相反。教師們會在每周商定具體內(nèi)容的講授方法。此外，為觀察兩組的實(shí)際教學(xué)情況，一位監(jiān)督教師會隨機(jī)聽取這4個(gè)班的課程，每個(gè)班共聽10次。參與的144名學(xué)生（概念班為42與37名，傳統(tǒng)班為34與31名）是自愿選擇組別的，他們并不知道自己正參與一項(xiàng)研究，在開課第一周學(xué)生參加了一個(gè)預(yù)測試，測試結(jié)果表明兩組無明顯差別。

研究工具為期中與期末考試。為便于分析，請6名教師將考試的每一道題目劃分到“程序技能子測試”和“概念理解子測試”中去。需要學(xué)生將已有知識拓展到未知領(lǐng)域中去的問題被稱為擴(kuò)展問題，擴(kuò)展問題也屬于“概念理解子測試”。任課教師在考試前無法看到試卷，試卷批改采用流水作業(yè)，每個(gè)題目的評判者信度達(dá)到95%以上。

3）量化研究結(jié)果。從表1中可以看到，在“概念理解子測試”中，概念班的成績均顯著高于傳統(tǒng)班。此外，在期中和期末的擴(kuò)展題目中，概念班的正確率均顯著高于傳統(tǒng)班，而且概念班的學(xué)生更能夠準(zhǔn)確地解釋自己的答案。

4）質(zhì)化研究方法。概念班的73位學(xué)生中有63位參加了訪談，傳統(tǒng)班的學(xué)生沒有進(jìn)行訪談。訪談含3個(gè)問題：（1）這個(gè)班老師的講授方法和你以前上過的數(shù)學(xué)課的方法有沒有不同？

（2）許多評論家指責(zé)：致力于概念理解的微積分改革運(yùn)動，只教給學(xué)生一點(diǎn)點(diǎn)表面的技巧，使得高中和大學(xué)的微積分教育“每況愈下”。相反地，還有一些專家認(rèn)為即使程序練習(xí)不是概念班的教學(xué)重點(diǎn)，概念班的同學(xué)在程序性問題的解決上也不會比傳統(tǒng)班的學(xué)生差。請根據(jù)自己第一學(xué)期微積分課的經(jīng)歷，談?wù)剬@些論斷的看法。（3）你以后是愿意上強(qiáng)調(diào)技能練習(xí)的課程還是愿意參加強(qiáng)調(diào)概念理解的課程？

5）質(zhì)化研究的結(jié)果。有58個(gè)學(xué)生覺得他們班的教學(xué)方法和以往的不同；有60個(gè)學(xué)生認(rèn)為概念班的學(xué)生在解決程序性問題時(shí)的表現(xiàn)不會比傳統(tǒng)班的學(xué)生差；60個(gè)學(xué)生投票說他們喜歡參加側(cè)重概念的數(shù)學(xué)課，3個(gè)學(xué)生投票說喜歡側(cè)重程序步驟的數(shù)學(xué)課。這些投票精確地反映了調(diào)查報(bào)告結(jié)果。

6）結(jié)論和討論。概念性的理解有助于解題技巧的掌握；基于概念的教學(xué)方法在保證學(xué)生解題技巧的同時(shí)加深了學(xué)生的理解；理解而掌握的知識與程序性知識相比更容易推廣到陌生的領(lǐng)域。

7）進(jìn)一步研究。概念性教學(xué)結(jié)果是否與學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)；長效作用及與后續(xù)課程銜接問題。

2 研究方法評述

作者由遠(yuǎn)及近地介紹了研究背景（美國課程改革、現(xiàn)有文獻(xiàn)、實(shí)驗(yàn)學(xué)校、課程、參與者）、研究的假設(shè)及教育環(huán)境的界定。在界定教育環(huán)境時(shí)，除二級指標(biāo)外，還給出了每種教育環(huán)境的教學(xué)實(shí)例。

在量化研究中，首先對學(xué)生進(jìn)行前測，避免數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同對教學(xué)效果的干擾；學(xué)生并不知道自己在參與一項(xiàng)研究，避免了學(xué)生情緒動機(jī)的干擾；參與實(shí)驗(yàn)的教師采取的授課方式既跟實(shí)驗(yàn)要求一致又與自身固有的授課風(fēng)格一致；由授課教師以外的其他教師來聽課、觀察、記錄，再由作者、觀察者和另一位沒參加實(shí)驗(yàn)的教師分析記錄，作者、觀察者、實(shí)驗(yàn)者、分析者等實(shí)現(xiàn)了多角度互證，提高了研究效度；每周教育例會上，授課教師與研究者研討教學(xué)內(nèi)容以保證教師始終采用符合研究要求的授課方式授課；在6位教師對試題進(jìn)行分類時(shí)，除第10題有分歧外，其它題目均一致，故最終第10題沒有歸到任何一個(gè)子測試中，而是被單獨(dú)分析。

質(zhì)化研究中，設(shè)計(jì)者盡量限制訪談題目的數(shù)量以保證得到細(xì)致、準(zhǔn)確的回答。問題2中，研究者沒有請學(xué)生直接評價(jià)授課效果與學(xué)習(xí)效果，而是請學(xué)生對他人的觀點(diǎn)進(jìn)行評論。問題3希望通過學(xué)生的愿望反映學(xué)生對概念性教學(xué)的認(rèn)同情況。結(jié)果表明：與問題1和2中學(xué)生對概念性教學(xué)的一致認(rèn)可不同的是，在問題3中由于關(guān)系到學(xué)生未來的選擇，同學(xué)們表示了更多的憂慮：“我們更喜歡注重概念但同時(shí)也不摒棄解題練習(xí)的數(shù)學(xué)課”；“要想進(jìn)行教改，必須先有好老師”；“概念班的學(xué)生在微積分第二學(xué)期可能會比不上傳統(tǒng)班的學(xué)生”。值得一提的是，訪談問卷會提前兩天發(fā)給學(xué)生，并請學(xué)生回答并上交。訪談時(shí)，每個(gè)問題都先由學(xué)生主動給出答案，再進(jìn)行投票。除了對訪談進(jìn)行錄音、分析、編碼外，研究者還將紙質(zhì)問卷、訪談時(shí)學(xué)生的回答及投票結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明三者是一致的，這進(jìn)一步保證了研究的科學(xué)性。

此外，圍繞概念教學(xué)Chappell共進(jìn)行了3次相關(guān)實(shí)驗(yàn)㈣，1998年秋的第一次實(shí)驗(yàn)包括305位大學(xué)生和8位教師，為了避免結(jié)果的偶然性，1999年秋又進(jìn)行了第二次實(shí)驗(yàn)，包括303位大學(xué)生和8位教師。兩輪研究的結(jié)論一致。除此之外，作者還分別于1999與2000年春季學(xué)期進(jìn)行了后續(xù)研究，分析學(xué)生從基于概念環(huán)境到傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境過渡時(shí)所面臨的困難。在這些研究基礎(chǔ)上，又進(jìn)行了第三次實(shí)驗(yàn)，此次實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)了兩類教學(xué)中教師數(shù)量和教師教學(xué)水平的平衡，對量化和質(zhì)化研究的設(shè)計(jì)更加細(xì)致，如量化研究中請老師對題目進(jìn)行分類等。這一系列的實(shí)驗(yàn)，使研究結(jié)論更具科學(xué)性，從而避免了老師和學(xué)生水平的差異所造成的偶然結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)是卓有成效的。本研究中，概念班的“概念理解子測試”成績顯著高于傳統(tǒng)班。此外，盡管傳統(tǒng)班用90%的時(shí)間進(jìn)行程序性的練習(xí)，而概念班只有25%的時(shí)間從而只能做基本的練習(xí)，但是概念班在“程序性練習(xí)子測試”中也不遜于傳統(tǒng)班，甚至比傳統(tǒng)班略高。此外，在學(xué)生以前沒有遇到過的擴(kuò)展性問題上，概念班的表現(xiàn)要顯著地好于傳統(tǒng)班，概念班的學(xué)生更能夠?qū)⒆约核鶎W(xué)知識應(yīng)用到未知的領(lǐng)域，遷移能力更強(qiáng)。以上說明概念班注重概念教學(xué)、強(qiáng)調(diào)多種表征、一題多解、引導(dǎo)學(xué)生解釋自己的答案、策略的教學(xué)方法都是行之有效的。

3 反思

一些教師認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)只要教會學(xué)生怎么用就可以，沒必要深究概念，深究概念可能會使學(xué)生越學(xué)越糊涂，而Chappell等人卻證實(shí)進(jìn)行概念教學(xué)是“磨刀不誤砍柴工”。作者進(jìn)行的基于概念教學(xué)的實(shí)驗(yàn)無疑是成功的，但能否推廣呢？在我國，很多教師喜歡“易教易學(xué)”的授課方式，喜歡“立竿見影”的教學(xué)效果，對于這種需花費(fèi)教師很多精力進(jìn)行教學(xué)研究、改革的授課方式，是否能推行？

文中的兩個(gè)擴(kuò)展性問題也很有趣，一是絕對值函數(shù)在特定點(diǎn)的可導(dǎo)性判定，一是當(dāng)速度函數(shù)是時(shí)正時(shí)負(fù)時(shí)，位移與路程的積分表達(dá)式。這兩個(gè)問題在我國是“常規(guī)”的，甚至不過是老師課上的一個(gè)小例題，而在美國卻是概念班與傳統(tǒng)班都未講過的難題，是不是在解題訓(xùn)練上做得太多了呢？

4 值得進(jìn)一步研究的問題

1）如何進(jìn)行大學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的設(shè)計(jì)？前人已經(jīng)對微積分中的概念理解情況進(jìn)行了比較細(xì)致的研究，但是以分析學(xué)生學(xué)習(xí)困難的居多，而對概念教學(xué)進(jìn)行具體設(shè)計(jì)的卻不多見。對于大學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，需要一些教學(xué)內(nèi)容的具體設(shè)計(jì)方案。所以可以進(jìn)行微積分概念教學(xué)的設(shè)計(jì)研究，在研究中給出一些具體的概念教學(xué)設(shè)計(jì)的詳細(xì)方案與教學(xué)效果檢驗(yàn)及教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)過程，以供教師參考。

2）什么樣的學(xué)生更適合側(cè)重概念教學(xué)的教育環(huán)境？美國微積分改革奉行三原則，即將微積分概念的三個(gè)側(cè)面：圖像、數(shù)和符號同時(shí)展現(xiàn)，學(xué)生可以通過這三種方式學(xué)習(xí)微積分的概念。對于中國學(xué)生是否有必要參照這三原則進(jìn)行講授？不同類別的學(xué)生，如數(shù)學(xué)系的學(xué)生、其它理工科學(xué)生、經(jīng)管類學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及理解能力上都有差異，是不是所有學(xué)生都適合強(qiáng)調(diào)概念理解的教學(xué)方式呢？英國數(shù)學(xué)教育學(xué)家斯根普指出對數(shù)學(xué)的理解包括兩類：關(guān)系性理解與工具性理解，對于工科學(xué)生是不是對數(shù)學(xué)概念只達(dá)到工具性理解水平即可？哪些概念需達(dá)到關(guān)系性理解？進(jìn)行強(qiáng)調(diào)概念的教學(xué)改革對教材有什么要求？能否編制相應(yīng)的教材？概念教學(xué)環(huán)境對不同層次學(xué)生有什么影響？

3）概念教學(xué)的延續(xù)性？教育是一個(gè)長期的過程。強(qiáng)調(diào)概念理解的教學(xué)環(huán)境是不是對培養(yǎng)學(xué)生有長期的效果？是否有利于學(xué)生后續(xù)其他課程的學(xué)習(xí)？學(xué)習(xí)了概念教學(xué)環(huán)境下課程的學(xué)生如果在后續(xù)課程中遇到傳統(tǒng)的教學(xué)方式，他們能否適應(yīng)？能否作一個(gè)跟蹤研究，了解概念教學(xué)的長效作用？

美國于20世紀(jì)80年代起進(jìn)行了轟轟烈烈的微積分教學(xué)改革，從而帶動了其大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)研究工作。相對來說，我國的高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究比較薄弱，很多局限于經(jīng)驗(yàn)總結(jié)層面，希望能有更多的實(shí)證研究來推動我國的大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革。