直角三角形在特殊四邊形中的應用

劉維漢

分析近幾年中考的綜合能力題，圖形的變換已成為常見的考點，基于此在平常的教學中應在不離開課本要求，不離開課標要求的前題下，引導學生一題多解，以多個方向尋找解決問題的途徑。下面以直角三角形特殊四邊形的應用為例。希望對同學們有所幫助：

例1、如圖E是矩形紙片ABCD中AD上的一點，以CE為折痕將△CDE翻折，點D落在AB邊的點F上，則原矩形被分為四個直角三角形。圖中四個直角三角形不隨點E不同位置影響：①一定相似的三角形是 與；② 一定全導的三角形是 與；③ 如果這個特殊的矩形翻折后，△AEF∽ △FEC（既四個都相似）；則AD：AB的值應是多少。

分析若△AEF∽△FEC則 ∠1﹦∠2﹦∠3﹦∠4﹦30°設AE﹦ⅹ

則EF﹦2ⅹ∴DE﹦2ⅹ AD﹦3ⅹ CD﹦2√3ⅹ=AB∴AD﹕AB﹦3ⅹ﹕2√3ⅹ﹦√3：2

將圖中△CDE剪去、問題演變為：

例2：如圖AD//BC∠B﹦90°將三角尺的直角頂點放在AB 的中點0、并繞著點O旋轉三角尺，其兩直角邊分別與射線AD、BC交于點E、F 連接EF⑴如果AB﹦8設AE﹦ⅹ BF﹦Y求Y與ⅹ的出數關系式；⑵若分別以E 、F為圓心，以EA，FB為半徑畫OE、OF求 OE 與 OF的位置關系。

分析：對于問題②研究 OE 與 OF 的位置關系。關鍵在兩圓半徑AE.BF與連心線EF的數量關系，顯然這是直角梯形中上、下底邊長與斜腰長之間的關系（提示：取EF中點P連接OP，易證Rt△EOF中EF=20P。在梯形ABFE中AE+BF=2OPEF=AE+BF即兩圓外切）

例3 如圖已知在正方形ABCD中邊長為1。點P在BC邊上移動，E是BC延長線上的點，聯結AP與 P點作PF⊥AP變∠DCE平分線于點F連接AF.證明AP﹦PF

證明一：一般通過三角形的全導來證明是同學們的首選但這有一定的難度，需要不斷探索.構選與△PCF全導的三角形。（提示：在AB邊上截取BQ﹦BP.連接PQ 易證∠1﹦∠2AQ﹦1—BQ﹦1—BP﹦PC∠AQP﹦135°﹦∠PCF從而△APQ≌△PFE∴AP﹦PF）

證明二：可以肯定地講，有很多同學過點F作FH⊥BE垂直為H，易證∠1﹦∠2∠B﹦∠PHF﹦90°但要證AB﹦PH或 BP﹦FH都不容易。那么這不就證明思想是不好不行呢？否則是否定。

例1時我們講△ABP∽△PHF。

設BP﹦ⅹ FH﹦Y﹦CH則PC﹦1— ⅹPH=1—ⅹty 于是有∴ Y﹦ⅹ—ⅹ﹢ⅹY可化為（ⅹ—Y）（1—ⅹ）=0∴ⅹ≠1 ∴ⅹ=Y即BP=FH ∴△ABP≌△PHF從而得到AP=PF

小結：構造法一的三角形一般較難想到，法二的三角形較直觀，但法二的證明反而難了一些，如果能結合相似通過計算推導線段相導其有驀然回首，燈火闌珊處之境。

意猶未盡的同學想一想還有沒有別的辦法呢？

證明三：連接AC正方形ABCD中∠ACD﹦45。 CF平分∠DCE∴∠DCF﹦∠ECF﹦45°∴∠ACF﹦∠ACD﹢∠DCF﹦90°

∴∠APE﹦∠ACF﹦90°

∴點A P C F 四點在以A F為直徑的圓上外角∠FCE﹦45°﹦∠PAF∴∠PAF﹦45°=∠PFA∴PA=PF

怎樣！是不是感受到這個方法更佬，有余韻繞梁之美

練習：在矩形ABCD中，點P在AD上，AB﹦2AP﹦1將直角尺的直角頂點放在點P上 直角尺兩邊分別交AB、BC于點E.F ，連接EF如圖（1）

（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖②）求PC的長②探究 將直角尺從圖②的位置開始，繞點P順時針方向旋轉，當點E與點A重合時停止。在這個過程中請你觀察猜想并解答。

（a）fam∠PEF的值是否發生變化，請說明理由

（b）直接寫出從開始到停止線段EF的中點經過的路線的長

提示：（1）圖②中△ABP∽△DPC 又∵Rt△ABP中AP﹦1AB﹦2BP﹦√5而矩形ABCD中DC﹦AB﹦2∴ PC﹦2√5

如圖②（a）fam∠PEF的值不變，理由：過點F作FG⊥AD，G為重點如圖①由△PAE∽△FGP而PA﹦1FG﹦AB﹦2即tam∠PEF=2不變（b）可以看出開始時EF中點0，停止時EF即AF中點為0，顯然0為BC中點，也是BP中點∴0，0 =PC=√5

上面圍繞直角三角形的特殊四邊形中的應用進行舉例說明，同學們有何收獲與感受。從中又體會到哪些數學思想與引導？我希望同學們在復習，梳理知識時能發現其內在聯系，在學習方法中能融會貫通。舉一返三，在運用知識時能分析轉化，不斷改變問題的條件、結論，改變圖形，實現轉化，拓展提高綜合能力。