圓“滿”的結(jié)局

解婉貞

新一輪的中考又將開始了，回顧上屆九年級(jí)學(xué)生的中考復(fù)習(xí)，筆者將自己在數(shù)學(xué)教學(xué)復(fù)習(xí)過程中認(rèn)為值得保留的資料整理了一下，特別是將有關(guān)知識(shí)歸類、整理，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)了多節(jié)專題復(fù)習(xí)課。現(xiàn)將關(guān)于圓在直線、角的頂點(diǎn)處、幾何圖形中的運(yùn)動(dòng)問題，通過問題背景、解決過程、反思過程等方式呈現(xiàn)出來，希望對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有所借鑒.

一、問題背景

在學(xué)生練習(xí)中碰到這樣一道選擇題（2009年佛山市中考題），將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一枚，而另一枚則沿著其邊緣滾動(dòng)一周，這時(shí)滾動(dòng)的硬幣滾動(dòng)了（）

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈

對(duì)于本題，可以說大部分學(xué)生無從下手，在不會(huì)做的情況下只能靠蒙，還有一部分會(huì)動(dòng)腦的學(xué)生可能會(huì)拿出兩個(gè)硬幣模擬實(shí)驗(yàn).新課程要求學(xué)生必須具備實(shí)踐與操作的能力，在教學(xué)過程中，有些問題既考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯分析能力，又提倡學(xué)生通過實(shí)踐操作來解決.很顯然此題用一個(gè)硬幣繞另一個(gè)固定的硬幣滾動(dòng)，難度很大.那是否可借助于其他兩個(gè)圓形的工具呢？比如兩個(gè)圓形紙板，或者兩頂草帽，相比較這些工具操作起來稍微容易點(diǎn)，學(xué)生可以去嘗試一下.但在考試中，不能借助就近的工具解決問題，可能得不償失，我認(rèn)為此題缺乏操作性.而任何操作過程都有理論依據(jù)，更何況數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是一種思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，那么從理論角度該如何闡釋呢？此題不僅考查學(xué)生初步的建模思想和綜合運(yùn)用與圓有關(guān)的知識(shí)的能力，還能有效考查學(xué)生的空間觀念、圖形的直覺判斷能力和邏輯推理能力.

近年來與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題成為中考命題的熱點(diǎn)，其主要探究圓在運(yùn)動(dòng)中與幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，題型有很強(qiáng)的綜合性、靈活性和多樣性.比如（2009年安徽桐城白馬中學(xué)模擬三）：如圖1，一個(gè)等邊三角形的邊長和與它的一邊相外切的圓的周長相等，當(dāng)這個(gè)圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動(dòng)旋轉(zhuǎn)，直至回到原出發(fā)位置時(shí)，則這個(gè)圓共轉(zhuǎn)了（）

A.4圈B.3圈C.5圈D.3.5圈

（答案：D）

又如（2009年深圳市數(shù)學(xué)模擬試卷）如圖2，將半徑為1cm的圓形紙板，沿著邊長分別為8cm和6cm的矩形的外側(cè)滾動(dòng)一周并回到開始的位置，圓心所經(jīng)過的路線長度為？搖？搖cm.（精確到0.01cm）（答案：34.28）

圖2

這兩題很顯然都是關(guān)于圓繞圖形運(yùn)動(dòng)的典型問題，對(duì)于這類問題的解答涉及除與圓有關(guān)的基本知識(shí)外，還要結(jié)合三角形、四邊形等綜合知識(shí)的應(yīng)用.如果將圓運(yùn)動(dòng)的問題稍作變式，便又有形成新的題型.如（2009江蘇通州通西一模試卷）：圖3，將半徑為1、圓心角為60°的扇形紙片AOB，在直線l上向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)至扇形AOB處，則頂點(diǎn)O經(jīng)過的路線總長為？搖？搖.（答案：■π）

圖3

又如（2010臺(tái)州中考題）：如圖4，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直線l上向右作無滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長為（結(jié)果保留π）？搖 ？搖.（答案：（8■+4）π）

圖4

此兩題都是求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，它們的本質(zhì)可以說是求圓的圓心運(yùn)動(dòng)的軌跡，就是各段弧長之和。所以這類問題的解決都可以說是圓動(dòng)態(tài)問題的姊妹篇，如果學(xué)生能認(rèn)識(shí)幾何圖形變換過程中的規(guī)律，那么就能舉一反三，對(duì)問題的解決也就能駕輕就熟了。

二、問題解決

由上述問題可以發(fā)現(xiàn)，此類型就是圓關(guān)于在直線、角的頂點(diǎn)處、幾何圖形的運(yùn)動(dòng)問題，筆者就結(jié)合09年河北省中考卷的閱讀理解題，略作改編，以便為學(xué)生消除困惑。

如圖13-1至圖13-5，⊙O均做無滑動(dòng)滾動(dòng)，⊙O■、⊙O■、⊙O■、⊙O■均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置，⊙O的周長為c.

圖13-1

圖13-2

圖13-3

閱讀理解：

（1）如圖13-1，⊙O從⊙O■的位置出發(fā)，沿AB滾動(dòng)到⊙O■的位置，當(dāng)AB=c時(shí)，圓心O移動(dòng)的路程為？搖？搖，⊙O恰好自轉(zhuǎn)？搖？搖周.（答案：c；1）

（2）如圖13-2，∠ABC相鄰的補(bǔ)角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滾動(dòng)，在點(diǎn)B處，必須由⊙O■的位置旋轉(zhuǎn)到⊙O■的位置，⊙O繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的角∠O■BO■=n°，則圓心O的移動(dòng)的路程為？搖？搖，⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)？搖？搖周.

（答案：■c；■）

設(shè)計(jì)意圖：原中考題中此兩題是直接給出圓自轉(zhuǎn)周數(shù)的，也沒有要求計(jì)算圓心的移動(dòng)路程.很顯然圓在直線上或角的頂點(diǎn)處無滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，圓自轉(zhuǎn)周數(shù)與圓的周長、無滑動(dòng)滾動(dòng)距離或角的度數(shù)之間有關(guān)系.筆者將題目分解，讓學(xué)生獨(dú)立嘗試解決圓滾動(dòng)的距離或角的度數(shù).讓學(xué)生體會(huì)圓在運(yùn)動(dòng)過程的本質(zhì)即圓在運(yùn)動(dòng)過程中它的形狀和大小是不變的，通過增加求圓心的移動(dòng)路程這個(gè)環(huán)節(jié)，將圖形的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).學(xué)生通過這兩題的解答會(huì)發(fā)現(xiàn)題目中存在的規(guī)律，圓心移動(dòng)的路程與圓自轉(zhuǎn)周數(shù)之間的關(guān)系.

關(guān)于圓做無滑動(dòng)滾動(dòng)的問題，需要先進(jìn)行分類，即在直線上或角的頂點(diǎn)處無滑動(dòng)滾動(dòng)，圓自轉(zhuǎn)的周數(shù)等于圓心移動(dòng)的路程，這是利用本例的關(guān)鍵。而對(duì)于下面問題的解決可以直接應(yīng)用（1）、（2）兩題得到的規(guī)律：圓自轉(zhuǎn)周數(shù)與圓的周長、無滑動(dòng)滾動(dòng)距離或角的度數(shù)之間的關(guān)系式.

實(shí)踐應(yīng)用：

（1）在閱讀理解的（1）中，若AB=2c，則圓心O移動(dòng)的路程為？搖？搖，⊙O自轉(zhuǎn)？搖？搖周；（答案：2c；2）

若AB=l，則圓心O移動(dòng)的路程為？搖？搖，⊙O自轉(zhuǎn)？搖？搖周.（答案：l；■）

在閱讀理解的（2）中，若∠ABC=120°，則圓心O移動(dòng)的路程為？搖？搖，⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)？搖？搖周；（答案：■c；■）

若∠ABC=60°，則圓心O移動(dòng)的路程為？搖？搖，⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)？搖？搖周.（答案：■c；■）.

（2）如圖13-3，∠ABC=90°，AB=BC=■c.⊙O從⊙O■的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A-B-C滾動(dòng)到⊙O■的位置，圓心O移動(dòng)的路程為？搖？搖，⊙O自轉(zhuǎn)？搖？搖周.

（答案：■c；■）

說明：通過實(shí)踐應(yīng)用這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生更加深入的理解動(dòng)圓問題的實(shí)質(zhì)。第（1）題學(xué)生直接應(yīng)用兩個(gè)規(guī)律，第（2）題是兩個(gè)規(guī)律的綜合應(yīng)用，學(xué)生解答應(yīng)該是游刃有余了。

拓展聯(lián)想：

（1）如圖13-4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請說明理由.

答案：（1）∵△ABC的周長為l，∴⊙O在三邊上自轉(zhuǎn)了■周.

又∵三角形的外角和是360°，

∴在三個(gè)頂點(diǎn)處，⊙O自轉(zhuǎn)了■=1（周）.

∴⊙O共自轉(zhuǎn)了（■+1）周.

圖13-4圖13-5

（2）如圖13-5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時(shí)針方向沿多邊形滾動(dòng)，又回到與該邊相切于點(diǎn)D的位置，直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù).（答案：■+1）

說明：學(xué)生解答這兩題，需要掌握三角形和多邊形的相關(guān)知識(shí)，首先要對(duì)圓的運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行分類，將有關(guān)線段的和轉(zhuǎn)化為多邊形的周長，有關(guān)的角度轉(zhuǎn)化為多邊形的外角和再運(yùn)用上述結(jié)論.

回顧本題圓的動(dòng)態(tài)問題類型，圓在沿直線、角的頂點(diǎn)、多邊形做無滑動(dòng)滾動(dòng)過程中都有一個(gè)共性，圓運(yùn)動(dòng)的路程與圓心運(yùn)動(dòng)的路程是相等的，抓住這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)也就找到了同一種類型題的解題方法和所用的數(shù)學(xué)思想，所謂多題歸一吧.因此，對(duì)于解決兩個(gè)硬幣問題，自然水到渠成.

那再來回顧一開始的問題：將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一枚，而另一枚則沿著其邊緣滾動(dòng)一周，這時(shí)滾動(dòng)的硬幣滾動(dòng)了（）

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈

我們可以將兩枚同樣大小的硬幣看做半徑為r的圓，則滾動(dòng)的硬幣沿著固定硬幣邊緣滾動(dòng)一周，圓心移動(dòng)的弧長為4πr，而本身滾動(dòng)一周為2πr，所以滾動(dòng)的硬幣滾動(dòng)了2圈。問題輕而易舉解決了.

如果題目變?yōu)槿鐖D，如果⊙O的周長為20πcm，有兩個(gè)同樣大小的小球A，B，其半徑為2cm，小球A沿⊙O的內(nèi)壁滾動(dòng)，小球B沿⊙O的外壁滾動(dòng)，問小球A，B各轉(zhuǎn)動(dòng)幾圈后才能回到原來的位置？

此題可以說是與上題相同的問題。因?yàn)樾∏駻或B本身沿⊙O的內(nèi)壁和外壁滾動(dòng)一周時(shí)，圓心A或B移動(dòng)的弧長為4πcm，又⊙O的半徑為10cm，所以圓心A在以O(shè)為圓心，8cm為半徑的圓上，而圓心B在以O(shè)為圓心，12cm為半徑的圓上，所以小球A沿⊙O的內(nèi)壁滾動(dòng)一圈后回到原來的位置時(shí)，圓心A移動(dòng)的弧長為16πcm，小球B沿⊙O的外壁滾動(dòng)一圈后回到原來的位置時(shí)，圓心B移動(dòng)的弧長為24πcm，所以小球A轉(zhuǎn)了4圈，小球B轉(zhuǎn)了6圈.

筆者當(dāng)時(shí)把這種解決方法的過程呈現(xiàn)給學(xué)生的時(shí)候，他們都覺得，兩個(gè)硬幣問題也不過是與圓有關(guān)的知識(shí)應(yīng)用，不像一開始拿到題時(shí)那樣束手無策了.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只要掌握了方法，解決任何問題都是有可能的，正所謂“授人之漁”，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

又如2010山東威海的中考題。如圖，在？荀ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm.已知⊙O的半徑等于3cm，AB，AD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn).⊙O在？荀ABCD內(nèi)沿AB方向滾動(dòng)，與BC邊相切時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.試求⊙O滾過的路程.

可以發(fā)現(xiàn)此題也是圓在直線運(yùn)動(dòng)和角的頂點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)問題，而⊙O滾過的路程就是⊙O與BC邊相切時(shí)，又與AB相切時(shí)的切點(diǎn)和點(diǎn)E的距離.找到這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)此題就不難解決了.

如下答案：

連接OE，OA.

∵AB，AD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn).

∴OE⊥AB，OE=3cm.

∵∠DAB=60°，

∴∠OAE=30°.

在Rt△AOE中，AE=■=■=3■cm.

∵AD∥BC，∠DAB=60°，

∴∠ABC=120°.

設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，⊙O與BC，AB分別相切于點(diǎn)M，N，連接ON，OB.

同理可得BN=■cm.

∴EN=AB-AE-BN=15-3■-■=（15-4■）cm.

∴⊙O滾過的路程為（15-4■）cm.

三、反思

縱觀幾何問題中的動(dòng)態(tài)問題，一般分為三種類型：動(dòng)點(diǎn)問題、動(dòng)線問題、動(dòng)形問題。而這三類問題都可以相互轉(zhuǎn)化，比如圓的運(yùn)動(dòng)問題可以轉(zhuǎn)化為圓心的運(yùn)動(dòng)，上述舉例中2010臺(tái)州中考題菱形無滑動(dòng)的問題也是轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)問題.這就要求在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、操作、觀察、空間想象等方法掌握運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，不要被“動(dòng)”所迷惑，而是要在“動(dòng)”中求“靜”，化“動(dòng)”為“靜”，抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，尋找確定的關(guān)系式，那就能找到解決問題的途徑.

與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題有很多，筆者只是選取了一部分，在解這類題型過程中，既需要幾何知識(shí)又離不開代數(shù)知識(shí)，可以說是數(shù)與形的完美體現(xiàn).涉及的幾何知識(shí)有圓的基本知識(shí)和三角形、四邊形、全等形、相似形，等；代數(shù)方面涉及的知識(shí)有方程、函數(shù)、不等式、坐標(biāo)、三角函數(shù)等；運(yùn)用到的數(shù)學(xué)基本思想主要有轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想、函數(shù)思想等.這些涉及的基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法，概括能力、推理能力，以及數(shù)學(xué)建模的理解能力等可以說就是對(duì)學(xué)生綜合能力的考查，也是新課標(biāo)提倡的追求對(duì)數(shù)學(xué)整體素養(yǎng)的評(píng)價(jià)效度和信度.