回歸：面積計算公式探索的基本策略

費嶺峰

一、問題的提出

“平面圖形的面積計算”在《數學課程標準》的內容分類中屬于“空間與圖形”的范疇，是“測量”的重要組成部分，主要包括面積公式推導及其應用兩塊。傳統的平面圖形面積計算教學中，教師在處理計算公式的推導與應用公式解決問題的關系時，輕過程，重結論，往往忽視學生對計算公式意義上的理解，突出公式的機械套用，致使學生對公式的意義“不知其所以然”的現象普遍存在。那么，在新課程背景下，對于平面圖形面積計算的教學，我們該如何繼承傳統教學的優點，在不削弱學生應用公式解決問題的能力的前提下，引導學生充分經歷公式的形成過程，感悟面積計算方法的內在原理，在掌握知識與技能的同時，實現數學思考、解決問題、情感與態度等多維的發展呢？帶著對這些問題的思考，我們以《長方形面積的計算》一課為例，進行了教學實踐與研究。

二、教學內容定位與學生認知基礎調查

《長方形面積的計算》是一節經典內容，它是平面圖形面積計算教學的起始課，是以后進行平行四邊形、三角形、梯形及圓等平面圖形面積計算教學的基礎，在學生數學學習過程中有著重要的地位。我們一般認為，因為長方形是學生比較熟悉的圖形，并且之前有《面積意義及面積單位》的教學，學生對長方形的面積有相當的認識基礎，可能有比較多的學生會計算長方形的面積。為了對學生的學習基礎有比較準確的了解，我們在課前對試教班44名學生進行了問卷調查。

調查材料：

問題：你會計算長方形的面積嗎？會的請試著計算下列長方形的面積（提供的長方形實際長5厘米，寬4厘米），并寫出計算過程。

結果如下表：

調查結果有點出乎我們預料，班中已經知道長方形面積是用“長×寬”來計算的學生只占全部學生的43.1%；而既知道長方形面積計算方法，又能理解“長×寬”的意義的學生則不到10%；超過半數的學生還不知道長方形的面積該如何計算。

三、提出假設

基于以上對教材內容的分析與課前調查狀況，我們提出了研究假設。

假設一：以面積意義為出發點，引導學生理解計算長方形面積其實就是求長方形中所包含相應的面積單位的個數。

從調查結果知道，有43%的學生已經知道長方形的面積是用“長×寬”來計算的。通過訪談，得知這些學生中大多數是家長教的，而對“‘長×寬是什么意思，為什么可以用‘長×寬來計算長方形面積”等指向計算公式本質意義的問題，知道的學生則不多。事實上，“面積”是人們從一維空間拓展到二維空間來認識事物的重要載體。作為面積計算教學的起始課，理解長方形面積計算公式的基礎應該是“面積”的意義。因此，本節內容除了讓學生知道長方形的面積確實可以用“長×寬”來計算這一顯性知識之外，還有另外一個功能，即促進學生加深對“面積”意義的理解，讓學生知道與“長”相對應的是沿著長邊可以擺幾個相應的面積單位，與“寬”相對應的是沿著寬邊能擺這樣的幾行，“長×寬”即是算出此長方形所包含的面積單位的個數，引導學生對長、寬與對應的面積單位個數之間建立聯系。在這節課的教學中，要實現這樣的目標是可行的。

假設二：以擺1平方厘米面積單位為主要方式，引導學生自主感悟長方形面積計算中長、寬與對應面積單位個數之間的關系，在理解的基礎上認識并掌握長方形的面積計算公式。

從調查中我們知道，本班學生知道長方形面積計算公式的不超過半數，且超過90%的學生對長方形的面積計算方法，甚至對“面積”的認識還不清晰。學生把面積與長度混淆的現象還存在。這從調查的15名會算的學生中也能夠看出，他們中有7人把面積單位寫成了長度單位，3人則沒有寫單位，只有5人寫正確。這顯然與學生剛剛學習面積，對面積意義的理解還不夠深刻有關。因此，我們認為，在《長方形面積的計算》的教學中，仍然需要以進一步認識理解面積意義為基礎，結合理解長方形面積的過程，逐步實現長方形面積計算方法的歸納與提煉。而以擺相應面積單位引入，引導學生通過操作活動自主感悟、自我發現是一種行之有效的教學手段。

四、教學流程設計及分析

1．教學流程設計

（1）導入環節：復習面積的意義及常用的面積單位。

（2）探究環節：提供四個沒標數據的長方形，引導學生逐步理解長、寬與面積單位個數之間的關系（圖1：長3厘米，寬2厘米；圖2：長4厘米，寬3厘米；圖3：長5厘米，寬4厘米；圖4：長15厘米，寬10厘米）。

所提供的學習材料的組織、教學策略與教學目標說明：

圖1：動手操作求得面積，意在鞏固理解面積的意義，知道“用面積單位擺滿”，所用面積單位的個數就是該長方形的面積。

圖2：先估后操作驗證，反饋操作方法，比較“擺滿”與“只擺一行一列”兩種操作方法的異同，引導學生初步感知長、寬與可擺面積單位的關系，重點突出“一行擺幾個，可以擺這樣的幾行”的觀察與思考。

圖3：先口述方法，再操作，重點突出“先橫著擺一行，再擺幾行”的方法，引導從學生所列算式中充分感知“長方形中所含面積單位的個數與每行個數、行數之間的關系”。

圖4：直接說方法，并引導思考“知道長15厘米，可以知道什么？知道寬10厘米，又能夠知道什么”，重點理解“長與沿長邊可以擺的面積單位的個數，寬與沿寬邊可以擺的面積單位的行數”之間的對應關系。

（3）回顧梳理，總結提煉計算公式：長方形的面積＝長×寬

（4）應用提升。

2．教學過程分析

（1）找準教學起點，順向組織多層次的教學活動，為學生探索長方形面積計算方法提供豐富的感性材料，積累足夠的感性經驗。

基于對本班學生認知基礎調查發現，知道“用‘長×寬的方法算出長方形面積”的學生不到全班學生的50%，采用以“面積”的進一步認識為切入口，引導學生在感知“面積大小”與“擺小方塊的多少”中理解長方形面積計算方法“長×寬”的算理，順向組織教學活動是符合學生開展學習的有效策略。事實上，以“面積意義”入手，其優勢有二：①因為學生剛剛學習了“面積”的意義，作為對一種特殊平面圖形（長方形）的面積的認識，借助面積意義這一載體，符合學生的認知規律，有利于學生建構新知；②作為一種順向的多層次的學習活動，降低了學習的起點，增加了學習的梯度，有利于學生深刻理解算法與算理之間的關系。

（2）借助動手操作，關注思維動向，積極溝通直觀材料與數學概念之間的聯系，促進學生對數學模型的理解。

通過擺小方塊的方式來研究擺的面積單位個數與面積之間的關系，結合“長×寬”這一外在的計算形式，理解“長×寬”的本質意義，有其可行性。學生可以通過長、寬與所擺面積單位個數之間的對應關系，結合對應思想、幾何推理能力等數學思想方法，自主構建“長×寬”這一數學模型。如在探究2號圖形的面積中，當學生用沿著長擺一行，又沿著寬擺一列的方式來說明面積時，引導學生關注“一行一列與長方形面積公式的關系”，并請學生通過語言表達把思維過程充分暴露出來，實現全班學生共享。再如在探究4號圖形的面積時，當學生在理解長15厘米、寬10厘米時，適時引導學生討論“長15厘米”與“面積單位15個”，“寬10厘米”與“面積單位10行”之間的對應關系，及時引導學生呈現思維過程，幫助學生及時溝通直觀材料與數學概念之間的聯系，構建起準確的數學模型。

五、教學效果分析

結合本節課的教學目標以及重點、難點的確定，我們從顯性和隱性兩個方面來分析這節課的教學效果。

顯性層面：學生對計算公式的理解和掌握情況較之課前有明顯好轉。

對于長方形面積計算公式的理解和掌握，顯性層面上，我們可以把它分為三個層次：一是拿到一個長方形要算面積，知道需要測量出長和寬的長度；二是會用“長×寬”的方法算出長方形的面積；三是理解“長×寬”的結果是指該長方形所包含的相應面積單位的個數。

隱性層面：公式理解的過程成為學生思維發展的過程。

本節內容的學習中，學生的數學思維水平發展主要反映在三個方面：首先，從學生的課堂表現來看，“長×寬”這一面積計算公式的理解過程成為學生思維提升的過程，促進了學生數學思維的發展。如在2號長方形可以擺幾個小方塊的探究中，除了想到擺滿可以知道這一方法之外，有學生想到了可以只擺一行和一列，就可以想象（算出）它是擺滿了。其次，在課堂上，教師通過引導學生進行“動手操作”“交流擺法”“溝通提高”等幾個層次的教學，學生對“長與沿著長邊擺的面積單位的個數，寬與沿著寬邊擺的面積單位的行數”之間的對應關系的理解越來越清晰，思維的流暢性也顯著增強。第三，本節課通過圖式結合、數形結合等學習方式的應用，在幫助學生理解計算公式的同時，也促進了學生空間觀念的發展，“知道長就想到沿著長邊可以擺幾個小方塊（即面積單位），知道寬就想到擺幾行小方塊”，建立起了良好的空間感，促進了對平面圖形的面積的認識。

六、研究結論

通過對本節課的教學研究，我們得出以下結論：

1．回歸面積意義是引導學生深刻理解面積計算公式的基本策略

作為平面圖形面積計算教學的起始課，長方形面積計算中“算面積就是算圖形所包含的面積單位的個數”的思想，支撐著長方形面積計算模型的建構過程。這對后續其他各種平面圖形的面積公式教學有著指導性價值，它是溝通計算技能與面積概念本質的重要依據。

2．關注數學思想方法，引導學生回歸數學學習的原點

面積公式作為一種高度抽象的數學模型，其建構的過程從來就是一個復雜的過程，期間蘊含著豐富的數學思想方法。如在學生理解“長×寬”的意義中，通過對“長度”與“面積單位的個數”之間的對應性，理解面積公式的意義，體現了對應思想的教學價值。又如在平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積公式推導時，轉化思想成為探究過程的主導思想。正是這一系列的數學思想方法在探究公式中的應用，使學生的數學思維能力得到了發展，數學模型的建構也變得充分而扎實了。因此，在探究理解長方形的面積計算公式時，引導學生借助相應的數學思想方法對推導過程進行理解顯得極其重要。

3．借助多元學習方式，實現數學學習的有效回歸

面積公式教學作為“空間與圖形”內容，積累充分的感性經驗，發展空間思維能力，是一個重要的目標。引導學生借助動手操作、空間想象等多元學習方式進行探究學習，不僅是幫助學生準確建構數學模型的重要手段，而且有利于促進學生從模型探究回歸到意義理解，找尋兩者之間的聯結點，從而完整建構長方形面積與面積計算公式之間的聯系。如面積的大與小、一維層面的“長度”與二維層面的“面積單位的個數”的對應性、圖形的轉化過程等，都需要通過動手操作或空間想象等方式來實現。只有當學生對平面圖形外在形式的變與面積公式內在本質的不變之間的關系有了清晰理解和把握之后，其對數學模型的理解才是整體的、內在的。這也是新課程理念下“面積計算公式”教學所應追求的。