淺析數學開放題的解題策略

吳治國

開放題是數學教學中的一種新題型，它是相對于傳統的封閉題而言的。開放題的核心是培養學生的創造意識和創造能力，激發學生獨立思考和創新的意識，這是一種新的教育理念的具體體現。現行數學教材中，習題基本上是為了使學生了解和牢記數學結論而設計的，學生在學習中缺乏主動參與的過程。那么在教材還沒有提供足夠的開放題之前，好的開放題從那里來？我認為最現實的辦法是讓“封閉”題“開放”。

一、開放問題的構建

有了開放的意識，加上方法指導，開放才會成為可能。開放問題的構建主要從兩個方面進行，其一是問題本身的開放而獲得新問題，其二是問題解法的開放而獲得新思路。根據創造的三要素：“結構、關系、順序”，我們可以為學生構建由“封閉”題“開放”的如下框圖模式：

[例1]已知a，b，c∈R+，并且，a

除教材介紹的方法外，根據目標的結構特征，改變一下考察問題的角度，或同時對目標的結構作些調整、重新組合，可獲得如下思路：兩點（b，a）、（—m，—m）的連線的斜率大于兩點（b，a）、（0，0）的連線的斜率；b個單位溶液中有a個單位溶質，其濃度小于加入m個單位溶質后的濃度；在數軸上的原點和坐標為1的點處，分別放置質量為m、a的質點時質點系的重心，位于分別放置質量為m、b的質點時質點系的重心的左側等。

[例2]用實際例子說明

所表示的意義

給變量賦予不同的內涵，就可得出函數不同的解釋，我們從物理和經濟兩個角度出發給出實例。

（1）X表示時間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開始計時后質點以10/s的初速度作勻加速運動，加速度為2m/s2，5秒鐘后質點以20/s的速度作勻速運動，10秒鐘后質點以—2m/s2的加速度作勻減速運動，直到質點運動到20秒末停下。

（2）季節性服飾在當季即將到來之時，價格呈上升趨勢，設某服飾開始時定價為10元，并且每周（7天）漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩銷售，10周后當季即將過去，平均每周削價2元，直到20周末該服飾不再銷售。

函數概念的形成，一般是從具體的實例開始的，但在學習函數時，往往較少考慮實際意義，本題旨在通過學生根據自己的知識經驗給出函數的實際解釋，體會到數學概念的一般性和背景的多樣性。這是對問題理解上的開放。

三、開放問題的探索

開放的行為給上面三個簡單的問題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識的回歸。開放的過程說白了就是探索的過程。以下以《解析幾何》教材上的一道例題為例來看開放問題的探索。

[例3]由圓x2+y2=4上任意一點向x軸作垂線。求垂線夾在圓周和x軸間的線段中點的軌跡方程。

問題本身開放：先從問題中分解出一些主要“組件”，如：A、“圓x2+y2=4”；B、“x軸”；C、“線段中點”等。然后對這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問題。

對A而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在“曲線”上，那么曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件A（大小或形狀或位置）就可使問題向三個方向延伸。

如改變位置，將A寫成“（x—a）2+（y—b）2=4”，即可得所求的軌跡方程為（x—a）2+（2y—b）2=4；再將其特殊化（取a=0），并進行新的組合便有問題：圓x2+（y—b）2=4與橢圓x2+（2y—b）2=4有怎樣的位置關系？試說明理由。

簡解：解方程組

得 y=0 或y=2b/3

當y=0時，x2+b2=4，

（1）若b<—2或 b>2，圓與橢圓沒有公共點；

（2）若b=±2，圓與橢圓恰有一個公共點；

（3）若 —2

當y=2b/3時，x2+b2/9=4，

（1）若b<—6或b>6，圓與橢圓沒有公共點；

（2）若b=±6，圓與橢圓恰有一個公共點；

（3）若—6

綜上所述，圓x2+（y—b）2=4與橢圓x2+（2y—b）2=4，當b<—6或b>6時沒有公共點；當b=±6時恰有一個公共點；當—6

上面的解法是從“數”著手，也可以從“形”著手分析。

再進一步延伸，得：當b>6時，圓x2+（y—b）2=4上的點到橢圓x2+（2y—b）2=4上的點的最大距離是多少？這個問題的解決是對數形結合、等價轉化等思想的進一步強化。

對B而言，它是一條特殊的直線，通過對其位置的變更可產生許多有意義的問題；而C是一種特殊的線段分點，同樣可以使其推廣到一般，具備對“封閉”題“開放”的意識的學生，事實上就有了創造意識，這種意識驅動下的實踐自然會使創造力得以發展；同時，隨著高考命題改革的進一步深入，我想這樣的“開放”會在高考中更顯示其生命力。