含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略

摘要：含參不等式的恒成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也是近年來(lái)高考的一個(gè)熱點(diǎn)，由于這類(lèi)問(wèn)題靈活多變、思辨性強(qiáng)，令不少學(xué)生望而生畏、束手無(wú)策；它涉及到函數(shù)的性質(zhì)、圖像、不等式等知識(shí)，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，因此備受命題者的青睞。本文試對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的求解策略與方法作一個(gè)提煉總結(jié)。

關(guān)鍵詞：含參不等式；數(shù)學(xué)；函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1674-9324（2012）12-0086-02

一、引言

該題型考察含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，但還是有許多學(xué)生茫然不知所措。因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題涉及到高中數(shù)學(xué)的很多思想方法；同時(shí)這類(lèi)問(wèn)題思維要求高，解法也較靈活，故學(xué)生難以掌握。但若我們能認(rèn)真觀察分析一下這類(lèi)問(wèn)題的特征，其實(shí)這類(lèi)題目的規(guī)律性是較強(qiáng)的。

二、含參不等式求解法

下面就結(jié)合例子給出解決此類(lèi)問(wèn)題的幾種方法：

例1：已知不等式x2+ax+1≥0對(duì)于一切的x∈（0，■]恒成立，求a的取值范圍。

解法一：原不等式可化為ax≥-（x2+1）

∵x∈（0，■]，∴a≥-（x2+1）

令f（x）=-（x+■），x∈（0，■]

∴f'（x）=-（1-■）=■>0恒成立

∴函數(shù)f（x）=-（x+■）在（0，■]上單調(diào)遞增。

∴f（x）max=f（■）=-■

∴a≥-■

解法二：利用參變量分離法

化成a>f（x）（afmax（x）（a

解法三：構(gòu)建函數(shù)法

利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定參數(shù)的取值范圍。化歸為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與定義域的位置關(guān)系、單調(diào)性等相關(guān)知識(shí)，求出參數(shù)范圍。

g（x）=x2+ax+1，x∈（0，■]，對(duì)稱(chēng)軸為：x=-■

-■≤0g（0）≥0？圯a≥0

-■≥0g（■）≥0？圯-■≤a≤-1 0<-■<■g（-■）≥0？圯-1

綜上：a≥-■

解法四：數(shù)形結(jié)合法

某些含參不等式恒成立問(wèn)題，采用數(shù)形結(jié)合的方法可以更直觀的解決好問(wèn)題。兩端的式子分別看成兩個(gè)函數(shù)，且畫(huà)出兩函數(shù)的圖像，然后通過(guò)觀察兩圖像（特別是交點(diǎn)時(shí)）的位置關(guān)系，從而列出關(guān)于含參數(shù)的不等式。原不等式可化為：ax≥-（x2+1）令y1=-x2-1，y2=ax，x∈（0，■]在同一坐標(biāo)系中做出它們的圖像，由圖可知：a≥-■。

法三化成f（x）≥g（x）型問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的關(guān)系再處理。

解決恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是合理轉(zhuǎn)化到函數(shù)，通過(guò)函數(shù)性質(zhì)（最值）或圖像進(jìn)行求解。從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，讓學(xué)生自己歸納與分析解題思路，最后提煉解決此問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是解決函數(shù)的最值問(wèn)題。

三、總結(jié)

數(shù)學(xué)的深?yuàn)W復(fù)雜性在于數(shù)學(xué)問(wèn)題的千變?nèi)f化，參數(shù)問(wèn)題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強(qiáng)。這就要求我們要以變應(yīng)變，通過(guò)這個(gè)例題，我們?cè)俅晤I(lǐng)略了解決恒成立問(wèn)題的多種常見(jiàn)求解方法，事實(shí)上，這些方法都不是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問(wèn)題得以順利解決.但是，不管哪一種解法，都滲透了數(shù)學(xué)最本質(zhì)的思想，通過(guò)化歸到函數(shù)求其最值來(lái)處理。因此，系統(tǒng)地掌握參數(shù)問(wèn)題的解題方法，無(wú)疑會(huì)對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)及培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題等方面有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

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