數學操作:突顯數學思考的過程

數學操作，不只限于以動手擺弄為主的數學學具操作（擺弄實物的操作、比劃手勢的操作），還應包括以動手書寫為主的數學語言操作（借助于文字、符號和圖表等數學語言進行的畫圖、批注、列表、列舉、摘錄、寫關系式、列算式等操作），以動口為主的數學語言操作（口頭本真表述、口頭范式表述、口頭個性化表述）等實踐活動。借助數學操作，使學生參與建模和用模的外顯思維活動真實地經歷從模糊到清晰、從膚淺到深刻、從部分到整體、從封閉到開放的精致化過程，使思維過程精細到動作化、流程化和形式化的視聽性層面，精確到可表征、可互動、可調控的反思性層面，使學生在數學學具操作、數學語言操作的有序過渡和整合提升中，自然實現由形象思維到表象思維再到抽象思維的提升，使思維活動既有溫度又有梯度和深度，從而提升實踐活動的智慧含金量，使思維能力和實踐能力的培養真正落到實處。

一、 突顯從膚淺到深刻的思維過程

數學學具操作中的比劃手勢操作、數學語言操作中的畫圖批注操作和數學語言操作中的“說話”操作，有序體現了數學思維由形象到抽象的過渡與提升。在實際教學中，教師可以組織學生靈活地運用這三種操作，對所學內容進行有序的多元表征，使數學操作活動實現從形象思維的感性層面向表象思維、抽象思維的理性層面飛躍，突顯從膚淺到深刻的思維過程，從而幫助學生直觀而深刻地理解數學概念，實現對數學概念的意義建構。

如在教學“用分數乘法解決實際問題”（蘇教版《數學》六年級上冊的例3）時，為了讓學生很好地理解“紅花比黃花多 ”的含義，從學生已有認知出發，先讓學生看例3中的條形圖進行“說話”操作——黃花、紅花和綠花各有幾份？怎樣用分數表示其中兩種花之間的數量關系（誰是誰的幾分之幾）？；接著由“紅花是黃花的 ”自然引出：“紅花比黃花多幾份？你能將多的一份在圖中用斜線表示出來嗎？多的一份相當于黃花的幾分之幾？誰能上臺來邊指圖邊說一說。” 之后要求其余學生也跟著邊比劃邊說一遍：紅花比黃花多的1份相當于黃花１０份中的一份，即是 。這樣就讓學生在畫圖操作、指圖的比劃操作以及同步的說話操作中形象直觀、簡單清晰地理解了“紅花比黃花多 ”，也就是“紅花比黃花多的是黃花的 ”。

借助“畫圖、比劃、說話”這三種操作，新舊知的巧妙鏈接、分率句的直觀理解、數學思考的逐步提升都在無痕的引領中高效生成了，為新知的探究掃除了認知上的障礙，突破了教學難點。

二、突顯從模糊到清晰的思維過程

“數學語言”指的是用于表達數學內容的語言，包括文字語言、符號語言和圖表語言等三方面。借助于文字、符號和圖表等數學語言，學生可以進行相關的畫圖、批注、列表、列式、列舉、摘錄、寫關系式等數學化操作活動，實現對內隱數學思維活動的直觀可視化和具體流程化的表征，使學生的思維由模糊到清晰，從而發展學生的心智技能，增強解決問題的策略意識和實踐能力。

如在教學例3：黃花有50朵，紅花比黃花多 ，紅花比黃花多多少朵？師引導學生審題：“紅花比黃花多的朵數”指圖中的哪一部分？這一部分相當于誰的 ?并讓學生結合條形圖，畫批出“紅花比黃花多 ”這個分率句的單位“1”，寫出 的具體含義及相應關系式和算式。最后引導學生總結出解題的流程：批注，寫含義，寫關系式，列式解答。

1.批注 紅花比黃花多 。

2.含義 紅花比黃花多的朵數是黃花朵數的 。

3.關系式 黃花朵數× =紅花比黃花多的朵數。

4.算式 50× =5（朵）。

5.答句 答：紅花比黃花多5朵。

此過程中，學生借助圖形語言進一步理解了“紅花比黃花多 ”的含義，又借助畫批、寫含義、寫關系式和列算式等文字語言和符號語言的操作，進一步加深了對概念的理解，有效避免了學習過程中的簡單機械模仿，使得數學思考變得有序、清晰而深刻，使得思維水平由直覺層面提升到理性層面。而解題流程的自然生成又很好地突顯了數學思考的程序性和循序性，為學生學會思考提供了形式化的腳手架，有效提高了學生的解題技能，為實現“比一個數多幾分之幾”向“比一個數少幾分之幾”的認知遷移和進一步學習稍復雜的分數應用題打下了堅實的基礎。

三、突顯從部分到整體的思維過程

數學語言是個體借助于數學語言接收、加工、傳遞數學信息的活動，也是個體了解數學語言和運用數學語言表達思想、進行思維的活動，分為內部語言和外部語言兩種。內部語言是一種對自己發出的語言，是思考時的語言活動。外部語言是以發音器官發出聲音的語言活動。這里的數學語言操作主要指動口發出聲音的外部語言活動。借助靜態可視的數學語言與動態可聽的數學語言間的相互轉換，可以幫助學生加深對數學知識的理解，溝通知識之間的聯系，實現有意義的整體建構，更好地培養學生的抽象思維能力和結構化思維能力。

如在教學例3和試一試之后，教師讓學生按照解答“例3”的前四個步驟獨立完成練一練的第1題。

生解答如下：

同時進一步拓展：由○的個數比△多 ，我們能推想出：○的個數是△的（ ）（ ）。可以通過哪些方法來加以驗證呢？請同學們以4人小組為單位認真討論一下，看哪一組想出的辦法多。

一石激起千層浪！富有挑戰性的問題一下子調動起學生的思考熱情，他們使出渾身解數，想出了多種方法，有直接推想法（○的個數比△多 ，說明△有這樣的3份，○比△多1份，說明○有4份，所以○的個數是△的 ），還有畫圖法（△有6個，△△△△△△ ，○ 比△多2個，是8個○○○○○○○○，所以○的個數是△的 ）和計算法（6+2=8（個），8÷6= ），等等。

在以上教學過程中，通過變“填空題”為4個步驟的流程化解答，進一步鞏固了相應的解題技能，使學生的感性思維和理性思維達到了高度的和諧統一；通過練后的大膽猜想與多重驗證，使學生在推想表述中充分進行數學語言操作，在畫圖驗證、列式驗證和流程化的四步解答中充分地進行數學語言操作，從而使學生在相互轉換和互為驗證的操作活動中很好地掌握了“比一個數多或少幾分之幾”的本質性內涵，溝通了“一個數的幾分之幾”與“比一個數多或少幾分之幾”的實質性聯系，實現了認知上的整體建構和思維上的結構化和系統化，達到了化知為智的目的。

四、突顯從封閉到開放的思維過程

《數學課程標準》強調：從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。在學生借助數學操作成功經歷了數學模型的建造之后，教師還要有意識地創設開放性的用模情境，引導學生進行多層面、多方位的開放性操作活動，使學、做、用的學習活動融為一體，這樣不僅可以培養學生的應用意識和實踐能力，還能使學生的數學操作能力內化為學生的數學學力和數學素養，使學生成為自覺運用數學化的思維方式和認知方式，對客觀世界進行改造的創新型人才。

例如，在學生解答了“學校買了24個排球，買的足球比排球多 。買的足球比排球多多少個？學校買了24個排球，買的足球是排球的 。買了多少個足球？”（書上第44頁的對比題）之后，由排球有４份、足球就有這樣的５份，出示相應的線段圖：

排球：

足球：

讓學生借助這樣的線段圖，先在4人小組里說出含“比”字或“是”字的分率句以及相應的關系式，再選一種分率句及相應關系式寫下來。

面對又一個新的挑戰，學生的創新火花再次被點燃，他們很快找到6種分率句及相應的關系式：買的足球是排球的 ，排球的個數× =足球的個數；排球是足球的 ，足球的個數× =排球的個數；排球比足球少 ，足球的個數× =排球比足球少的個數；足球比排球多 ，排球的個數× =足球比排球多的個數，排球是它們總數的 ，一共的個數× =排球的個數；足球是它們一共的 ，總的個數× =足球的個數。

在以上教學過程中，教師借助線段圖和分數的知識，游刃有余地引導學生通過口頭表述的數學語言操作和動筆書寫的數學語言操作，進行了更大思維界域的拓展與延伸，促進了學生對新舊知識的整體融合和建構，引發了強烈的開放性頭腦風暴，從而有效提升了學生數學思考的寬度、深度和高度，培養了學生的創新精神和實踐能力。

總之，通過數學操作，使學生充分經歷和體驗由外及內、由表及里、由淺入深、由感性到理性的數學思考過程，使他們輕松、高效地掌握知識的本質性內涵、實質性聯系，并為建構結構性認知、滲透智慧性思想、實現靈活性運用，有效培養了學生的聚合思維、發散思維、逆向思維、創新思維等，使學生進入有深度和有效度的數學學習境界。（作者單位：江蘇省南通師范第一附屬小學朝暉校區）