學會分析比只會解答更重要

最近，江蘇省南京市下關區進修學校組織獲得“優秀青年教師”稱號的幾位教師開匯報課，課題是蘇教版《數學》九年級上冊“圖形與證明（二）”的復習課。具體要求是對本章重點知識進行整理，幫助學生對證明的必要性、證明的方法與思路、證明表述的規范等有進一步的理解和領悟。筆者聽過后，感受頗多。現就本節課的部分教學片段加以賞析，并談談筆者的一些思考。

片段一 活動與思考

用一張長方形紙片折一個正方形，你能證明四邊形ADEF是正方形嗎？

（2分鐘后，學生就完成了操作，并積極思考證明方法）

生1：將長方形紙片按圖1的方式折疊，裁去右邊部分可得正方形ADEF。

師：生1折疊出的四邊形ADEF一定是正方形嗎？

生2：是的。由長方形ABCD可得：∠A＝∠ADC＝90°，由折疊知：△ADF≌△EDF，因此∠A＝∠DEF＝90°，AD＝ED。所以四邊形ADEF是正方形。

師：生2的證明思路很清晰。通過這個活動大家有什么想法嗎？

生3：僅靠操作得出的結論不一定是正確的，其正確性還須通過推理論證。

師：很好！今天我們在上節課的基礎上繼續復習“圖形與證明（二）”。

【賞析】本教學片段旨在通過操作活動調動學生參與課堂的積極性，學生在操作活動中表現積極，學習興趣濃，在思考如何證明時，思維活躍，表述清晰。教學中也有個別同學思路受阻，但通過與同桌的交流后也能完成。在新授課、習題課或復習課的教學中，教師可采用猜想、操作、說理、驗證等手段，以突破教學難點，培養學生良好的思維習慣。

片段二 常規問題

例1 如圖2，在△ABC中，AB=AC，D為底邊BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F。求證：DE=DF。

師：請大家獨立思考，并在學案上書寫證明過程。

（大多數學生3分鐘左右就完成了，教師選取一學生的作業展示，并請該生談思考方法。）

生4：我是通過證明三角形全等解決的。因為要證明兩條線段相等，而且這兩條線段分別是△BDE、△CDF的邊，分析條件可得到∠B=∠C，BD=CD，所以△BDE≌△CDF。

師：生4分析得很完整。還有不同的思考方法嗎？

生5：（展示作業）我是利用角平分線的性質解決的。因為DE、DF分別表示點D到邊AB、AC的距離，要證明DE=DF，我就試著思考能否證明出AD是∠BAC的平分線，分析條件AB=AC，D為底邊BC的中點，利用等腰三角形底邊的中線平分頂角的性質就可以知道AD是∠BAC的平分線，從而解決問題。

師：大家明白生5的思考方法嗎？（學生集體回答：明白）顯然生5是從另一個角度來思考問題的。從這個問題的解決中，我們得到哪些啟示呢？大家可以分別交流，然后面向全班同學匯報小組交流內容。

（3分鐘后，大部分小組有想法了）

生6：我們小組認為，要證明兩條線段相等，最常用的方法是證明這兩條線段所在的兩個三角形全等，不過，有時也可能與等腰三角形、特殊平行四邊形等知識相聯系。因此，在分析問題時，要結合已知條件、圖形加以辨析，尋找適合的解決方法。

生7：我們小組認為，做證明題時，一般有兩種方法，一種就是從已知條件入手，通過分析已知條件得到一些新的結論，然后對照結論，思考可運用哪些條件來解決問題；還有一種是可以由結論逆推，即倒過來思考。更好的做法是，從條件與結論兩個方面共同思考，生4、生5就是這樣做的，我們認為效果很好！

生8：我們小組認為，分析很重要，但證明過程的表述也很重要，每一個步驟都要完整，而且能運用我們所學過的定理、性質。

師：三個小組的代表匯報得很好！大家在討論時特別好，既歸納了一般方法，還提出了注意點。希望同學們繼續保持這種嚴謹的思維習慣。

【賞析】本題是一道常規的證明問題，難度小，解決方法單一。目的是幫助學生回顧等腰三角形的主要知識，并對證明問題的一般思路加以小結、歸納。在思考中，學生能從不同角度分析，互相補充、完善，表現出良好的思維品質。在幾何證明問題的教學中，應以學生獨立思考、小組合作交流等學習形式為主，擯棄教師的“一言堂”舊習，教師在歸納、總結中也應突出學生的主體作用。

片段三 變式問題

例2 如圖3，將?荀ABCD的邊DC延長到點E，使CE=CD，連接AE，交BC于點F。

（1）你能得出什么結論？請加以證明。

（2）連接AC、BE ，如圖4，請添加一個適當的條件，使四邊形ABEC是矩形。

（3）小明添加了∠AFC=2∠D，你能證明四邊形ABEC是矩形嗎？試一試。

（4）你能不能試著提出一個問題，請同學添加適當的條件使問題成立？

師：請大家思考問題1，并交流你的想法。

生9：我的結論是AB=CE，由?荀ABCD 可得AB=CD，又CE=CD，所以結論成立。

生10：生9的結論太簡單了些，我的結論是△ABF≌△ECF。由AB∥CD可得：∠BAF=∠E，∠B=∠ECF，再由生9得到的結論，就可以證明了。

生11：在生10的基礎上還可以得到BF=CF，AF=EF。

師：大家討論得很好。哪位同學歸納一下，解決這類問題需要注意些什么？

生12：我認為解決幾何問題尋找結論，可以從線段、角、基本圖形等方面思考。

生13：我認為尋找新的結論時，要盡可能多地使用已知條件，比如生9的結論就太簡單了。

師：大家總結得很有條理，這些都是我們在學習中需要引起重視的地方。我們來看問題2，大家思考一會，然后交流。

生14：由生11得出的結論，可以知道四邊形ABEC是平行四邊形了，因此只要添加條件∠BAC=90°，或者AE=BC就可以了。

生15：也可以添加條件AE=AD，方法與生14的差不多。

師：大家思路很開闊，想法也很好。解決了問題（1）、（2）之后，有什么想法嗎？

生16：問題（1）是根據已知條件尋找新的結論，問題（2）是給出部分條件和結論，讓我們添加新的條件來解決。兩個問題有很多的不同。

師：生16歸納得很好。這種問題我們稱之為開放型問題，解決的途徑常常有多種，大家可以結合自身的情況選擇最適合自己的方法去解決，同時要吸收其他同學的一些精彩想法。大家共同來看問題3。

生17：由問題2的解決知道，四邊形ABEC已經是平行四邊形了，因此只要能結合條件∠AFC=2∠D，證明出四邊形ABEC的一個內角是直角或者對角線相等就可以了。只是我還沒有想出具體的解決辦法。

師：生17的思路很好！大家可以繼續思考，也可以小組討論。

生18：我想出來了！由平行四邊形ABEC可以得出∠ABC=∠D，所以∠AFC=2∠ABF，又∠AFC=∠B+∠BAF，所以，∠BAF=∠ABF，所以FA=FB，因此AE=BC，就可以證得四邊形ABEC為矩形。

生19：在生18的基礎上可以證明出AE=AD，又CE=CD，所以AC⊥DE，即∠ACE=90°，則問題就解決了。

師：由于時間關系，還有不同的思路我們留到課后交流了。剛才交流自己想法的三位同學中，哪一位同學的思路顯得尤為重要？

學生齊答：生17！

師：是的。我們在分析問題時，要有全局的意識，只有把解決問題的大方向把握了，那么問題就不難解決了。大家來思考最后一個小問題。

生20：我的問題是，添加一個條件，使四邊形ABEC是菱形。可以從邊、對角線的角度思考，具體是添加AB=AC，或者AE⊥BC。

生21：我的問題是，添加適當的條件，使四邊形ABEC是正方形。至少需要添加兩個條件，在生20的基礎上，再添加∠BAC=90°或者AE=BC就可以了。

師：很好！請大家課后繼續交流。剛才我們花了不少時間探究了四個問題，其實四個問題是環環相扣的，第（1）、（2）、（4）都是開放型問題，大家交流得很好！問題3是在問題2的基礎上給出的一種特殊情況，生17的想法值得大家借鑒。下面我們來做練習……

【賞析】本教學片段以平行四邊形為基礎，設計了三個不同層次的開放型問題和一個確定型問題，關注學生思維方法的訓練與提高，同時對學生提出問題的水平也有所關注。通過學生獨立思考、小組討論、班級匯報等方式組織活動，效果很好！學生的學習積極性很高，思維非常活躍。在探究思維層次較高的問題時，可適當鋪設臺階，增加變式練習，以更好地關注不同層次學生的思維水平發展。

波利亞說過，掌握數學，就是意味著善于解題。在筆者平時所聽的習題課中，大多數教師都不放心學生，只是一味地自己講，不愿意留出時間讓學生思考、交流。結果，題目講解得很多，但收效甚微。

在教學過程中，教師在把握預設與生成方面表現得相當出色。如在生2回答問題后，教師問：“生2的證明思路很清晰。通過這個活動大家有什么想法嗎？”因此就出現生3的精彩小結。這樣避免了傳統教學中常常出現的教師“一言堂”現象。再如，生5回答結束后，教師問：“大家明白生5的思考方法嗎？（學生集體回答：明白）顯然生5是從另一個角度來思考問題的。從這個問題的解決中，我們得到哪些啟示呢？大家可以分別交流，然后面向全班匯報小組的交流內容。”學生交流出了一系列精彩的想法，幫助大家歸納出了一般性的證明兩條線段相等的思路與方法。當然，如果教師接著問：“我們證明兩個角相等可以有什么辦法呢？”或許效果會更好。分析例2時，教師放手讓學生思考，只說了簡短的幾句話，而且學生在交流中顯得意猶未盡。其實，在后面的課堂練習中，教師也是這樣做的。

在數學教學中，除了復習課、習題課，我們在上新授課時也會遇到大量的習題教學。在習題教學中，教師應更多關注如何分析問題，而不能一味地教學生做習題。只要給學生足夠的思考時間，預設能激發學生思維的問題，我們的教學就一定有效果。長期這樣，學生的思維水平也必將得到很大提升！（作者單位：江蘇省南京市第39中學）

□責任編輯 周瑜芽

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