混合結構時程分析中的阻尼比計算研究

周國偉，張志強，李愛群，徐金軍

(1.東南大學 土木工程學院，南京 210096;2.廣州市設計院，廣州 510620;3.東南大學 混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室，南京 210096;4.國內貿易工程設計研究院，北京 100001)

混合結構時程分析中的阻尼比計算研究

周國偉1，2，張志強1，3，李愛群3，徐金軍4

(1.東南大學 土木工程學院，南京 210096;2.廣州市設計院，廣州 510620;3.東南大學 混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室，南京 210096;4.國內貿易工程設計研究院，北京 100001)

混合結構由于其建筑及功能上的種種優點，在現代建筑中得到廣泛應用。對這類結構進行分析時，主要有兩個問題：一是在考慮不同材料的情況下，結構的整體阻尼比如何計算;二是在整體阻尼比的計算結果下，如何針對小阻尼材料進行修正。以高樓頂加鋼塔的這一混合結構形式為例，建立一種非比例阻尼矩陣的構造方法，計算結果表明該構造方法得到的振型阻尼比可以較好的反映對主體結構和頂部鋼塔影響最大的4階振型的耗能特點。此外，基于反應譜法推導了頂部鋼塔在整體阻尼比(第一階主振型的阻尼比)計算下的誤差，在此基礎上，給出了相應的修正公式，最后采用上述方法分析了洛陽某高層頂部鋼塔的地震響應。

混合結構;非比例阻尼;阻尼比;高階振型

阻尼比是結構動力分析的基本參數，對結構動力分析結果的可靠性和精度有很大影響。對于由同種材料組成的結構，目前公認的是阻尼比處于某一范圍。我國規范規定混凝土結構阻尼比取0.05，鋼結構取0.02。而組合結構的阻尼比確定方法卻沒有統一的認識，我國《高層混凝土結構技術規程》［1］建議取0.04計算，眾多試驗驗證了該取值具有一定代表性。但是，在高階振型下，該取值顯然不能反映結構的耗能特性。以建筑樓頂加建鋼塔的結構為例，高階振型很可能主要表現為鋼結構部分的局部振動，該振型的阻尼比應該是接近鋼結構的阻尼比。Newmark等［2］根據對原型和模型的實測數據，建議在原子能電站設計中，按不同結構和不同內力采用不同的阻尼比。此外，結構阻尼比還和結構的頻率、響應相關。Hart等［3］根據1971年San Fernando地震中的12棟高層房屋的強震破壞記錄，用傅氏變換對前三階阻尼比進行識別，得出地面運動越強，阻尼比越大的結論。這批結構在地震中，鋼結構阻尼比最大為11.3%，最小為1.5%;鋼筋混凝土結構阻尼比最大為16.5%，最小為1.5%。Celebi［4］搜集了美國舊金山5棟建筑在1989年Loma Prieta earthquake(強震)作用下建筑的實測數據和低幅振動的阻尼數據，分析表明強震下，結構的阻尼比明顯大于低幅值振動中的阻尼比，約為低幅值震動情況下的5～8倍。文獻［5］考慮振幅和應力的影響，基于復阻尼理論采用流固耦合動力方程對某深水鋼柱墩進行分析，結果表明，考慮耦合效應后，結構動力響應明顯增大。在采用軟件進行時程分析時，常采用基于振型的積分形式，這種積分形式需要指定結構某一振型的阻尼比。如能合理確定結構的各振型阻尼比，使該振型阻尼比能較好地反映該階振型各不同材料的耗能的關系，其計算結果應該可信得多。文獻［6－9］介紹了一種非比例阻尼矩陣的構造方法，主要思路是用各子結構的比例阻尼矩陣組裝成非比例阻尼矩陣。本文基于該方法，考慮公共邊界，通過自編程序，集成了更精確的阻尼矩陣，用于混合結構阻尼比的計算［10］。

在屋頂上加建鋼結構塔或網架等，受到的是經過主體建筑放大后的地震作用，在交界處形成剛度和質量的突變，水平地震作用遠遠大于放在地面時的水平地震作用［11］，這就是“鞭梢效應”，對于鞭梢效應，目前比較認同的計算方法是在整體計算時選取足夠多的振型［12］。另一種常用的設計方法是主體結構和附加結構單獨計算，具有一定的隨意性，且附加的鋼結構在屋頂和地面下的響應不盡相同，相比之下，整體分析的結果更可信。但是，在選取足夠多振型的情況下，各振型的阻尼比通常是按整體阻尼比計算的，高階振型的阻尼比誤差也會對頂端突變部位的計算結果產生較大影響。所以，進行整體分析后，有必要對上部的不利結構進行調整，用于指導設計。

1 本文非比例阻尼矩陣的構造

由前述的研究現狀可知，采用各子結構的比例阻尼矩陣構造非比例阻尼矩陣是目前比較公認的一種構造方法，本文的阻尼矩陣構造亦基于此基礎。按文獻［6］介紹的非比例阻尼矩陣構造方法，即：

式中：C1= α1［M1］+ β1［K1］，為主結構的阻尼矩陣;C2=α2［M2］+ β2［K2］，為子結構的阻尼矩陣，C 為組合結構的整體阻尼矩陣。其中，α1、α2為質量矩陣系數，β1、β2為剛度矩陣系數;

X 表示公共邊界;ωm1、ωn1、ωm2、ωn2取自整體分析計算時所得到的結構自振頻率，ζ1和ζ2分別為主體結構和子結構的阻尼比。需要指出的是，在選取各階頻率時，必須反映各子結構的動力特性。對于主體結構，一般為整體分析的前兩階平動振型;對于頂部的塔樓，則需要觀察振型特點，慎重選取。本文建議在構造阻尼矩陣時，所選取4個振型的頻率分別為主體結構整體振動最顯著的兩階振型頻率和子結構局部振動最明顯的兩階振型頻率，這樣主體結構和子結構的阻尼矩陣均能反應各自的耗能特點，由此集成的整體阻尼矩陣亦能更好地反映各階振型的阻尼特性。

1.1 公共邊界的處理方法

按本文方法構造非比例阻尼矩陣時，應先構造兩個比例阻尼矩陣，然后再組合為整體阻尼矩陣。公共部分可仿造有限元整體剛度的集成方法處理。以4層混凝土－鋼組合結構的層間模型為例，計算簡圖如圖1。

圖1 結構離散示意圖Fig.1 The schematic diagram of the discrete structure

離散后，下部結構的質量矩陣和剛度矩陣為：

其中：［M］為結構的質量矩陣;mi(i=1，2，…)為各樓層的集中質量;ki(i=1，2，…)為各樓層的層間抗側剛度。對于層模型，將各層的質量等效于樓層處，因此，可近似認為m12=m2;m22=0;這樣，上部結構的質量矩陣和剛度矩陣為：

將上、下兩結構在2節點處組合，即得到4層結構的整體質量矩陣和剛度矩陣。阻尼矩陣也可以按類似的方法集成。上、下部子結構在組合時，其在公共節點處所乘的系數不一致，以圖1表示的模型為例，集成后的阻尼矩陣為：

可見，在公共節點處，體現質量矩陣和剛度矩陣的主對角元素分別為+、β1k2+ β2k3;該模型只是簡單的層模型，實際結構的模型公共節點可能錯綜復雜，因此，在組合非比例阻尼矩陣時，對于剛度矩陣和質量矩陣應先在各單元先乘以各自材料的組合系數(α、β)值，然后再集成。由于公共邊界的存在，嚴格意義上并不能寫成文獻［6］中的分塊形式。

1.2 結構振型阻尼比的計算

本文推薦采用阻尼比的定義計算公式(2)計算結構的振型阻尼比：

式(2)中，ζj為結構第 j振型的阻尼比;φj為結構第j振型的振型向量;ωj為振型的圓頻率;C、M為結構的阻尼矩陣和剛度矩陣。由于是定義式，不論是比例阻尼或是非比例阻尼，式(2)都是適用的。對于比例阻尼體系，當按式(1)定義阻尼矩陣時，對于指定的兩階阻尼比，ζi=ζ，其他振型的阻尼比和頻率有如下關系：

由式(3)可見，若選取的結構前兩階主振型構造阻尼矩陣，結構的高階振型阻尼比隨頻率增高而增大。因此，在構造阻尼矩陣如只取兩階振型確定 α1、β1、α2、β2(假設取整體平動的前兩階)，會導致高階局部振型阻尼比偏大，計算結果偏不安全。基于上述原因，本文推薦按式(2)計算振型阻尼比按下列步驟操作：

(1)采用有限元分析軟件ANSYS對整體結構、下部混凝土主結構和上部的鋼結構進行模態分析。提取結構剛度和質量信息文件name.full。

(2)采用FORTRAN語言對name.full文件進行編譯，可從該文件中提取出質量矩陣和剛度矩陣，以壓縮格式存儲為Nx3的矩陣形式，其中，前兩列為元素在矩陣中的行號和列號，第三列為元素值。需要注意的是，對于上部附屬鋼結構進行單獨模態分析時，不能約束住其公共節點，以便得到完整的上部子結構的剛度矩陣，用于組裝。

(3)將前面所得到的兩個剛度矩陣進行組合。得到結構的整體剛度矩陣。這個過程需要通過程序實現［7］。

(4)結構的整體質量矩陣也可以由相同方法得到;

(5)對得到的各子結構的質量矩陣和剛度矩陣乘以阻尼矩陣的組合系數，將乘以系數后的分塊質量矩陣和分塊剛度矩陣集成為整體阻尼矩陣的質量部分和剛度部分，再將二者相加，得到整體阻尼矩陣;

(6)由得到的整體阻尼矩陣、整體剛度矩陣和整體模態分析得到的位移向量，采用式(2)計算結構的振型阻尼比。

1.3 頂部突變結構在整體阻尼比計算下的修正方法

研究

振型分解反應譜法是目前常用的結構設計計算方法。常用的結構設計軟件在計算時，要求輸入結構的整體阻尼比，通常該阻尼比取結構的第一階振型的阻尼比。按SRSS方法計算的結構內力可表示為：

式(4)中：FEK表示水平地震作用標準值;Fj=αjγjXG，表示第j振型計算下的地震作用標準值，其中，αj為j振型的地震影響系數，γj為j振型的振型參與系數，X為j振型的水平相對位移，G為計算節點的質量。

從式(4)可以看出，某一振型阻尼比的取值誤差對振型分解反應譜法的計算結果影響主要體現在兩個方面：

(1)阻尼比取值誤差造成了地震影響系數α的計算誤差，從而導致該振型的下的內力計算產生誤差;

(2)結構內力是各振型內力計算結果的SRSS或CQC組合，因此，某一振型的計算結果產生誤差后，對整體計算結果的影響還要體現在其在參與組合時的權重。

頂端柔性子結構的地震響應主要取決于高階振型，如不能取反映高階振型的阻尼比，就會造成頂端柔性結構部位的計算誤差。在這種情況下，如只輸入結構的整體第一階阻尼比，就應針對高階振型對柔性部位的計算結果進行修正，使計算結果更符合真實情況。

設第k，k+1階振型對柔性部位影響比較大，需針對該階振型對頂端進行修正。該階振型在精確確阻尼比計算下的影響系數為αk、αk+1，而在整體阻尼比計算下的影響系數統一為α，則第k階振型的地震力產生的誤差為(第k+1階同)：

式(5)中：γj為第j振型的振型參與系數;Xji為第j振型向量第i自由度的值;Gi為第i自由度的重力荷載代表值;將式(5)在第k階、k+1階振型的地震力Fk、Fk+1處泰勒展開，并忽略高階小量，可得：

將式(5)代入式(6)中，可得到在整體阻尼比α計算下的相對誤差：

令 ：αk=(1+lk)α，lk為第k階振型地震影響系數分別按精確阻尼比與按整體阻尼比計算之間的誤差，該值從地震影響系數的角度體現了阻尼比取值誤差的大小。

若需要對多階振型進行修正，則可計算多個ηk值，從而，結構在整體阻尼比計算下的修正結果可表示為：

在實際計算中，通常只需要對影響大的少數幾階進行修正即可。

從式(11)中可以看出，當高階振型表現為頂端突變結構的局部振動時，βk在振型組合中占了相當大的比重，修正系數ηk就較大;主體的βk在高階振型下是通常非常小，主體結構部位計算得到的修正系數ηk就小。所以通常只針對頂端不利部位進行修正。本文對不同阻尼比下的反應譜進行統計分析，計算了不同阻尼比下各反應譜的之間的差值(見表1)，按0.01分段，同一區間內可按線性插值處理。

表1 阻尼比每相差0.01對α值的計算誤差Tab.1 The error in α with each difference of 0.01 in damping ratio

從表1可以看出，按振型分解反應譜法計算時，假設阻尼比在0.02～0.05之間，那么阻尼比取值造成某一振型的計算誤差最大約為30%。再乘以該階振型在組合中的權重βk即可得到修正系數。

綜上所述，對于頂端突變的結構，在計算分析中主要要注意兩點：

(1)選取的振型一定要包括能體現對頂端突變部位的某幾階高階振型。若未包含這些振型，計算結果將不可信，更不用談如何修正。

(2)在選取了合適的振型后，考慮整體阻尼比對不利部位的影響，按式(11)計算得到修正系數，對頂部部位乘以相應的放大系數。

2 實例計算

采用前述的研究方法，本文計算了洛陽某大樓的振型阻尼比，并對其進行彈性時程分析。時程分析中的振型阻尼比分別采用按整體阻尼比統一指定和按各振型阻尼比分別指定，采用本文的修正方法對整體阻尼比計算下的計算結果進行修正，與按各振型分別指定的計算結果對比。由于彈性時程分析的積分方法也采用基于模態的積分，結果表明，本文的修正方法計算得到的修正系數對與時程分析也具備一定的參考價值。

2.1 算例簡介

主體為鋼筋混凝土結構高層建筑，在頂部標高124.02 m以上設有四個鋼格構塔(平面上位于矩形平面的四個角上，對稱布置)，用于安裝通訊發射設備或者為了取得更好的建筑效果。鋼塔分為13層，平面三角形，由三根柱支撐，總高度45 m。鋼塔下部七層設有斜撐，上部五層無斜撐，頂部為單根豎桿。結構有限元模型見圖2。從結構形勢上看，頂部鋼塔高度達45 m，與主體結構相比，剛度與質量的突變非常大，所以，該結構的模態中應該存在大量的以鋼塔振動為主的振型。并且，在頂部鋼塔非常柔的情況下，有些振型是只表現為頂端鋼塔的局部振動。有限元的模態分析也證明了這一點。該結構多階局部振型的周期很接近，所以，在構造阻尼矩陣時，可以在這些振型中選取計算頻率，確定鋼塔部分的質量矩陣系數和剛度矩陣系數。計算軟件采用etabs有限元分析軟件。

圖2 結構有限元模型Fig.2 The finite element model of the structure

2.2 分析結果的比較

按本文的方法計算得到的前二十階阻尼比見表2，圖3為結構部分振型示意圖。

表2 結構前二十階振型阻尼比Tab.2 The damping ratios of the models before 20

圖3 1000號大樓振型示意圖Fig.3 The vibration models of the No.1000 tower

結合表2和圖3可看出，該結構的前兩階振型為整體平動振型，結構整體耗能以下部混凝土結構為主;第五振型至第八振型中，上部鋼塔樓的獨立振動現象非常明顯，底部混凝土結構位移非常小，在表2中，這些振型的阻尼比基本上在0.03左右，該取值可以反映這些振型的耗能特點。

為驗證高階振型的阻尼比對突變部位的影響，對本結構分別按①所有振型阻尼比0.048;②除第5～8振型阻尼比按表2中的取值外，其余振型阻尼比取0.048兩種方法進行時程分析，提取鋼塔頂部的位移時程進行對比。地震波選取Elcentro波，峰值調整至35 gal，計算時間取20 s。兩種方法計算得到的頂點位移時程見圖4。

本文針對局部振動的前三階振型(第五階～第八階)進行修正，βk采用(6)，建立層間模型提取各振型的層間位移進行估算，lk通過表2對照表1通過插值法計算。第五階～第八階各參數計算結果見表3。

圖4 結構頂點位移時程對比Fig.4 The comparison of displacement time histories at the top point

表3 結構5～8階修正系數Tab.3 The correction coefficient of the 5th～8thmodels

按式(11)計算得到的修正系數1+η5+η6+η7+η8=1.25，結合圖4可以看出，按整體阻尼比計算和按振型指定計算得到的頂點位移最大值分別為95 mm和125 mm，即按振型指定的阻尼比計算比按整體阻尼比計算的峰值大31.6%，略大于本文的誤差值25%。由于本文的修正方法是基于反應譜得到，用該方法對時程分析結果進行修正，給出修正系數并不十分精確。但從計算結果上看，本文的修正方法已具備很高的參考性。此外βk是各階修正系數取值的重要參數，有待于計算程序的進一步發展和研究。從本算例也可以看出，高階振型的阻尼比對頂端突變部位的計算結果影響顯著，需要慎重對待。

3 結論

本文以混凝土－鋼混合結構為例，對混合結構的阻尼比和突變部位的修正方法進行研究，得出以下結論：

(1)由于不同材料的阻尼特性不同，結構阻尼矩陣不再滿足正交性，在構造非經典阻尼矩陣時宜采用4階振型，以便更好地反映突變部位局部振動振型的耗能特性;

(2)按本文方法構造非經典阻尼矩陣，并按定義式計算得到的振型阻尼比可以較好地反映高階局部振動振型的耗能特性;

(3)本文基于反應譜理論推導的修正公式具備較高的參考價值，如能在計算程序中準確衡量高階振型在內力組合時的權重，則所得到的修正系數會更加準確。

［1］中華人民共和國行業標準.高層建筑混凝土結構技術規程(JGJ3－2002)［S］.北京：中國建筑工業出版社，2002.

［2］Newmark N M，Hall W J.Seismic design criteria for nuclear reactor facilities［C］.Proc，Forth World conf.on Earthquake Engrg.，Santiago，Chile，1969.

［3］ Hart G C，Lew M，Dijulio R M.High－rise building response：damping and period nonlinearities［C］.Proc.，Fifth World conf.on Earthquake Engrg.，Rome，Italy，1973.

［4］ Celebi M.Comparison of damping in buildings under lowamplitude and strong motion［J］.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamica.1996，59：309 －323.

［5］張輝東，周 穎，元 豐.基于復阻尼理論的流固耦合地震時程響應研究［J］.振動與沖擊，2010，29(6)：194 －198.

［6］Chopra A K.著，謝禮立，呂大剛，等譯.結構動力學理論及其在地震工程中的應用［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［7］王福智.考慮材料阻尼比不同的鋼框架－混凝土筒體混合結構彈性時程分析［D］.天津：天津大學，2004.

［8］周向陽，張其林.組合結構等效阻尼比的確定及其在有限元中的應用［J］.計算機輔助工程，2007，16(3)：6－9.

［9］ Huang B C，Leung Y T，Lam K M.Analytical determination of equivalent modal damping ratios of a composite tower in windinduced vibrations［J］.Computers and Structures，1996，59：311－316.

［10］周國偉.考慮不同材料連體結構的抗震、減震若干問題研究［D］.南京：東南大學，2009.

［11］劉大海，楊翠如，編著.高層建筑結構方案優選［M］.北京：中國建筑工業出版社，1996.

［12］高 昂，李愛群，張志強.南京新世紀中心頂部鋼塔結構動力特性及地震響應分析［J］.江蘇建筑，2005(1)：17－20.

Damping ratio of composite structures used in time-history analysis

ZHOU Guo－wei1，2，ZHANG Zhi－qiang1，3，LI Ai－qun3，XU Jin－jun4

(1.School of Civil Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China;2.Guangzhou Design Institute，Guangzhou 510620，China;3.Southeast University Key Laboratory of Concrete and prestressed Concrete Structures of the Ministry of Education，Nanjing 210096，China;4.Internal Trade Engineering Design and Research Institute，Beijing 100001，China)

There are two main problems in the study of damping effect of composite structures：the first is how to calculate the damping ratio of the whole structure when adopting different materials;the second is how to modify the low damping material after obtaining the integral damping ratio of the whole structure.Taking the high－rise building with steel tower on top as an example，a construction method of non－classical damping matrix was proposed.The result shows the damping ratio based on this matrix can reflect the energy dissipation of 4 orders of modes which play the most important influence on the main structure and the steel tower on top.By the response spectrum method，the inaccuracy of the steel tower's result due to using the calculated integral damping ratio was deduced and a modification equation was provided.The comparison with the accurate result shows the modification factor obtained by the equation has certain reference value to the earthquick response calculation.

composite structure;non－classical damping;damping ratio;high－order vibration mode

O411;O341;TU501

A

既有建筑功能提升改造關鍵技術(6105001014)

2011－03－02 修改稿收到日期：2011－08－08

周國偉 男，碩士，1984年7月生

張志強 男，博士，副教授，1969年6月生