只有用等效法才行嗎

劉金山

(江西省于都中學(xué) 江西 贛州 342300)

在重力場和勻強(qiáng)電場所組成的復(fù)合場中，某帶電小球在豎直面內(nèi)做圓周(或圓弧)運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)過其重力和電場力的合力(也稱等效重力)作用線過圓心所對(duì)應(yīng)的圓周上的兩個(gè)位置時(shí)，即所謂的“等效最低點(diǎn)”和“等效最高點(diǎn)”，小球有與之對(duì)應(yīng)的動(dòng)能最大值和最小值.然而，幾乎所有涉及這一復(fù)合場的綜合題的解答，在所見的各種教輔資料中，都直接運(yùn)用這一結(jié)論，致使一些學(xué)生總以為只有用這種等效方法才能解決此類問題.為此，文中對(duì)這類問題就等效法之外的求解方法作一探討.

【例1】如圖1所示，在水平方向的勻強(qiáng)電場中，有一質(zhì)量為m，帶正電的小球，用長為L的絕緣細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，當(dāng)小球靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向夾角為

θ.現(xiàn)給小球一個(gè)垂直于懸線的初速度，使小球恰能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)， 求：

(1)小球運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度；

(2)小球在A點(diǎn)的初速度.

圖1

方法1：等效重力場法

解析：小球在運(yùn)動(dòng)過程中，所受重力和電場力都是恒力，將它們合成等效為一個(gè)力F，如圖2所示，

則

圖2

把合力F與重力類比，其等效重力加速度

因此，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的等效“最低點(diǎn)”和“最高點(diǎn)”分別為圖2中的A點(diǎn)和B點(diǎn).

(1)小球在B點(diǎn)處的速度最小，依題意有

解得

(2)小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理可列式

解得小球在A點(diǎn)的初速度

方法2：常規(guī)解法

解析：如圖2所示，因小球在A點(diǎn)是處于靜止平衡狀態(tài)，受豎直方向的重力、水平方向的電場力和沿繩子方向的拉力3個(gè)力作用.

(1)因小球在A點(diǎn)獲得垂直于懸線的初速度后，恰能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，說明小球在運(yùn)動(dòng)中速度最小時(shí)，繩子張力為零.此位置只能是電場力和重力的合力提供向心力，而這個(gè)合力又是恒力，且與小球在A點(diǎn)時(shí)的這個(gè)合力相同.因此,小球速度最小值的位置必在與A點(diǎn)同一直徑圓周的B點(diǎn)上,且滿足

而

解得

(2)小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，只有重力和電場力做功，據(jù)動(dòng)能定理可得

其中

解得小球在A點(diǎn)的初速度

(1)小球B的初速度v0大小；

(2)A,B球碰后粘在一起,在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)的最大速度大小.

圖3

方法1：等效重力場法

解析：(1)設(shè)小球A，B在c點(diǎn)時(shí)的速度為vc，則由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得

代入數(shù)據(jù)解得

vc=1 m/s

設(shè)在B與A碰撞之后，速度為vb,粘在一起由b向c的運(yùn)動(dòng)過程中，據(jù)動(dòng)能定理有

代入數(shù)據(jù)解得

在B與A碰撞過程中，由動(dòng)量守恒

Mv0=(M+m)vb

所以，B的初速度為

根據(jù)等效重力場思想，當(dāng)A,B運(yùn)動(dòng)到所在位置半徑與豎直方向成角α=60°時(shí)，速度最大，在這過程中由動(dòng)能定理得

qERsinα-(m+M)gR(1-cosα)=

代入數(shù)據(jù)解得

vmax=5 m/s

方法2：常規(guī)解法

解析：(1)略.

(2)如圖4所示，A，B球碰后粘在一起,設(shè)在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)到與bc豎直線的夾角為θ的位置時(shí)，兩者有最大的共同速度vmax，據(jù)動(dòng)能定理有

圖4

(1)

又因電場力

重力

G=(M+m)g=8 N

且兩個(gè)力的方向關(guān)系滿足

得到

α=60°

(2)

設(shè)θ=30° 時(shí)，則

所以，可知當(dāng)θ=60°時(shí)，也就是電場力和重力的合力作用線也過圓心的位置時(shí)，A，B兩球達(dá)到最大速度vmax=5 m/s .

方法3：求導(dǎo)解法

解析：(1)略.

(2)如圖4所示，A，B球碰后粘在一起,設(shè)在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)到與bc豎直線的夾角為θ的位置時(shí)兩者有最大的共同速度vmax，據(jù)動(dòng)能定理有

-(M+m)gR(1-cosθ)+EqRsinθ=

(3)

代入對(duì)應(yīng)的已知量得到數(shù)值方程

(4)

據(jù)式(2)，令

對(duì)y求解一階導(dǎo)數(shù)得

所以當(dāng)θ=60°時(shí)，y有最大值

ymax=25

可得

vmax=5 m/s

結(jié)語：由上可見，等效法固然是一種不錯(cuò)的方法，但是并非非它莫屬.在當(dāng)今倡導(dǎo)教學(xué)應(yīng)注重過程的理念下，對(duì)一個(gè)問題用不同方法進(jìn)行探究，這是筆者寫下本文的初衷.