分類剖析近三年高考物理壓軸題之粒子“源”問題

劉 熠 劉 靜

(湖南師大附中 湖南 長沙 410006)

在近三年高考全國理綜卷Ⅰ和卷Ⅱ中的6道物理壓軸題中有4份試卷的壓軸題屬于同一類題型——帶電粒子在電磁場中的運動問題.這些試題經一次次的陳題翻新，從而轉化為對粒子“源”問題的考查.該類題型受到廣大高考命題專家的喜愛.現就高考試題中粒子“源”產生的帶電粒子在磁場中的運動問題作一深入探討與剖析，力求尋找解決此類問題的一些規律性的方法.

1 完全相同的粒子源問題

基本特點：每個粒子的質量、電性、電荷量以及速度都相同.

運動特點：它們垂直進入同一勻強磁場做勻速圓周運動的圓心和半徑都相同.

問題提升：讓有界磁場為特殊的圓形磁場，使得先后進入磁場的粒子在磁場中的圓弧軌跡部分重疊，長短不一，出現磁聚焦問題.

【例1】(2009年高考浙江理綜卷第25題)如圖1所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上.在xOy平面內有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內還有與xOy平面垂直的勻強磁場.在圓的左邊放置一帶電微粒發射裝置，它沿x軸正方向發射出一束具有相同質量m，電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒.發射時，這束帶電微粒分布在0

(1)從A點射出的帶電微粒平行于x軸，從C點進入有磁場區域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應強度的大小和方向.

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區域，并說明理由.

(3)若這束帶電微粒初速度變為2v，那么它們與x軸相交的區域又在哪里？并說明理由.

圖1

求解思路展示

明確目標：確定帶電粒子出磁場時的位置.

分析運動：各個粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑都相同但圓心不一樣，其出磁場后做勻速直線運動.

思維監控:

(1)粒子在進入磁場前做勻速直線運動，說明受力平衡.

(2)粒子在進入磁場后,問題的難點在于確定軌跡圓的圓心和半徑.

規律總結：此為磁聚焦問題.即如果在圓形勻強磁場區域的邊界上某點向四周發射速率相同的帶電粒子，且粒子在磁場中運動的軌道半徑與磁場半徑相同，那么，粒子射出磁場時運動方向一定相同.反之，粒子以相同速度平行射入這樣的磁場，粒子就能匯聚于磁場邊界上的某點.

解析：(1)本題考查帶電粒子在復合場中的運動.帶電粒子平行于x軸，從C點進入磁場，說明帶電微粒所受重力和電場力平衡.設電場強度大小為E，由

mg=qE

可得

方向沿y軸正方向.

帶電微粒進入磁場后，做勻速圓周運動，且r=R.如圖2(a)所示，設磁感應強度大小為B.由

得

方向垂直于紙面向外.

圖2

(2)這束帶電微粒都通過坐標原點.從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動.如圖2(b)所示，設P點與O′點的連線與y軸的夾角為θ，其圓心Q的坐標為(-Rsinθ，Rcosθ)，圓周運動軌跡方程為

(x+Rsinθ)2+(y-Rcosθ)2=R2

得

x=0

y=0

或

x=-Rsinθ

y=R(1+cosθ)

(3)帶電微粒在磁場中經過一段半徑為r′的圓弧運動后，將在y軸的右方(x>0)的區域離開磁場并做勻速運動，如圖3所示.靠近M點發射出來的帶電微粒在穿出磁場后會射向x軸正方向的無窮遠處，靠近N點發射出來的帶電微粒會在靠近原點處穿出磁場.

圖3

所以，這束帶電微粒與x軸相交的區域范圍是x>0.

2 速度不同的粒子源問題

此類粒子源射出的粒子，它們的質量、電性和電荷量都相同，但是各粒子的速度不同，常常表現有速度大小不同，方向相同;或者速度方向不同，大小相同兩種情形.

類型1:速度方向不同的粒子源問題

基本特點:每個粒子的質量、電性、電荷量均相同，速度的大小相同，但方向不同.

運動特點:它們垂直進入勻強磁場做勻速圓周運動的半徑相同，圓心不同.

基本聯系:粒子都從粒子源處開始做勻速圓周運動；圓心到源的距離都為圓周運動的半徑.

(2)此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

(3)從粒子發射到全部粒子離開磁場所用的時間.

圖4

求解思路展示

明確目標：“仍在磁場中……”意味著粒子在磁場中的運動時間必大于t0，即粒子在磁場中做圓周運動的圓心角大于120°，關鍵是確定滿足條件的最大圓心角和最小圓心角(易知最小圓心角為120°) .

關注聯系：粒子都從原點O開始做半徑相同的圓周運動，圓心的軌跡是以粒子源所在的位置為圓心，以R為半徑的圓弧.

圖5

解析： (1)如圖5(a)所示，粒子沿y軸的正方向進入磁場，從P點經過，以OP的垂直平分線與x軸的交點為圓心，根據幾何知識有

解得

由題意有

則粒子做圓周運動的圓心角為120°，周期為T=3t0.粒子做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，根據牛頓第二定律得

化簡得

(2)仍在磁場中的粒子其圓心角一定大于120°，這些粒子角度最小時從磁場右邊界穿出；角度最大時從磁場左邊界穿出.角度最小時從磁場右邊界穿出圓心角為120°，所經過圓弧的弦長與(1)中相等，穿出點如圖6(a)M點，根據弦與半徑、x軸的夾角都是30°，所以，此時速度與y軸的正方向的夾角是60°.角度最大時從磁場左邊界N點穿出，半徑與y軸的夾角是60°，則此時初速度與y軸的正方向的夾角是120°.所以，速度與y軸的正方向的夾角范圍是60°～120°.

圖6

類型2:速度大小不同的粒子源問題

基本特點:每個粒子的質量、電性、電荷量均相同 ，速度的方向相同，大小不同.

運動特點:它們垂直進入勻強磁場做勻速圓周運動的半徑不同，圓心不同.

基本聯系:粒子都從粒子源處開始做勻速圓周運動；圓心到源的距離隨著速度的增大而增大.

(1)粒子a射入區域Ⅰ時速度的大??；

(2)當a離開區域Ⅱ時，a,b兩粒子的縱坐標之差.

圖7

求解思路展示

明確目標：“此時…… b也從P點沿x軸正向射入區域Ⅰ”意味著a在離開區域Ⅰ時,b開始射入區域Ⅰ. 要求“當a離開區域Ⅱ時，a，b兩粒子的縱坐標之差”,一要確定a離開區域II時的位置，二要確定此時粒子b的位置.

分析運動：粒子a在組合場中的臨界點速度不變，所畫的圓弧為相切圓弧，磁場同向時是同一方向的相切圓，磁場反向時是異向相切圓，兩個圓心的連線一定通過離開區域Ⅰ時的出射點.

關注聯系：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小，其對應的軌跡半徑也就確定了.但由于入射速度的大小發生改變，從而改變了粒子運動軌跡圖，導致粒子的出射點位置變化.帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動，應抓住其運動軌跡的圓心、半徑和圓心角3個關鍵點求解.

思維監控：在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態粒子運動的軌跡圖(對應臨界狀態的速度的方向)，再利用軌跡半徑與幾何關系確定對應的出射范圍.本題情境新穎，是對磁偏轉問題的成功創新，全面地考查了學生綜合運用力學、電磁學知識與方法及數學方法的能力，是一道能有效區分學生能力與智力的好題.涉及了帶電粒子在復合場中的運動，洛倫茲力計算式，牛頓第二定律，向心力計算式，圓周運動的圓心及半徑分析，粒子在磁場中的軌道半徑計算，數學幾何上的邊角關系，圓心、圓弧與角度推導等.

解析：(1)如圖8，設粒子a在Ⅰ內做勻速圓周運動的圓心為C(在y軸上)，半徑為Ra1，粒子速率為va，運動軌跡與兩磁場區域邊界的交點為P′,由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

(1)

由幾何關系得

∠PCP′=θ

(2)

(3)

式中θ=30°，由式(1)～(3)得

(4)

圖8

由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

(5)

由式(1)、(5)得

(6)

C,P′和Oa三點共線，且由式(6)知Oa點橫坐標

(7)

由對稱性知，Pa點與P′點縱坐標相同，即

yPa=Ra1cosθ+h

(8)

式中h是C點的縱坐標.

設b在Ⅰ中運動的軌道半徑為Rb1，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

(9)

設a到達Pa點時，b位于Pb點，轉過的角度為α.如果b沒有飛出Ⅰ，則

(10)

(11)

式中，t是a在區域Ⅱ中運動的時間，而

(12)

(13)

由式(5)及式(9)～(13)得

α=30°

(14)

由式(1)、(3)、(9)、(14)可見，b沒有飛出.Pb點的縱坐標為

yPb=Rb1(2+cosα)+h

(15)

可得，a,b兩粒子的縱坐標之差為

(16)

3 質量不同的粒子源問題

基本特點：此類粒子源射出的粒子的電性、電荷量和速度都相同，它們的質量不同.其質量要么連續變化，要么以幾個特定的值呈現出來.

運動特點：它們垂直進入同一勻強磁場做勻速圓周運動的圓心和半徑都不相同.

基本聯系：粒子都是從粒子源所在的位置開始做圓周運動，所以，圓心的軌跡是垂直初速度方向的一條線段.

【例4】(2010年高考全國卷Ⅱ)圖9中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強磁場，磁感應強度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里，圖中右邊有一邊長為a的正三角形區域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區域內及其邊界上也有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面朝里．假設一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面且垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區域，并經EF邊中點H射入磁場區域，不計重力.

(1)已知這些離子中的離子甲到達磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質量.

(3)若這些離子中的最輕離子的質量等于離子甲質量的一半，而離子乙的質量是最大的，問磁場邊界上什么區域內可能有離子到達？

圖9

求解思路展示

明確目標：確定出磁場時的位置.

分析運動：粒子在復合場中做勻速運動，然后以相同的速度垂直進入邊界磁場做勻速圓周運動.

關注聯系：粒子都從H點開始做圓周運動，圓心的軌跡是垂直初速度方向的一條線段，下端點為質量最輕離子的圓心，上端點為質量最重的乙離子的圓心.

圖10

規律總結：帶電粒子從某一點以方向不變而大小改變的速度(或質量改變)射入勻強磁場，在勻強磁場中做半徑不斷變化的勻速圓周運動.把其軌跡連續起來觀察，好比一個與入射點相切并在放大(速度或質量逐漸增大時)或縮小(速度或質量逐漸減小時)的運動圓，如圖10.解題時借助圓規多畫出幾個半徑不同的圓，可方便發現粒子軌跡特點，達到快速解題的目的. 此題是通過改變粒子質量實現軌跡的變化,求解粒子運動過程中的臨界條件.

解析：略.

4 小結

高考壓軸題以帶電粒子在電磁場中的運動為背景，主要涉及3種重要的運動形式，2種重要作用力(電場力、洛倫茲力)以及兩大解題方法的綜合應用.一般設置遞進或并列的2～3小問，各小問間的難度遞增，是整個理綜中難度較大，綜合性強，所占分值較重的題目，也是影響理綜成績高低的關鍵.

帶電粒子在勻強磁場中受洛倫茲力做勻速圓周運動，根據這一特點該問題的解決方法一般為：一定圓心，二畫軌跡，三用幾何關系求半徑，四根據圓心角和周期關系確定運動時間.其中圓心的確定最為關鍵，一般方法為：(1)已知入射方向和出射方向時，過入射點和出射點做垂直于速度方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌跡的圓心；(2)已知入射點位置及入射時速度方向和出射點的位置時，可以通過入射點做入射方向的垂線，連接入射點和出射點，做其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心.結合物體受力分析、數學知識、物理規律和方法綜合解決問題.