圓的五種關系在高考試題中的應用

張旭年

(新疆塔城地區第一高級中學 新疆 塔城 834700)

圓是最美的曲線.在同一平面內的兩個圓有相交、相離、外切、內切和內含五種關系.在物理模型中這五種關系也很常見.在一次復習課上，筆者和學生一起分析了圓在物理習題中的應用.

1 內含

當兩個圓的圓心之間的距離小于大圓半徑與小圓半徑之差的時候，兩圓內含.

【例1】(2006年高考江蘇卷第14題)如圖1所示，A是地球的同步衛星．另一衛星B的圓形軌道位于赤道平面內，離地面高度為h．已知地球半徑為R，地球自轉角速度為ω0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．

(1)求衛星B的運行周期．

(2)如衛星B繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻A,B兩衛星相距最近(O,B,A在同一直線上)，則至少經過多長時間，它們再一次相距最近?

圖1

解答：(1)由萬有引力定律和向心力公式得

(1)

(2)

聯立式(1)、(2)得

(3)

(2)由題意得

(ωB-ω0)t=2π

(4)

由式(3)得

(5)

代入式(4)得

2 相離

當兩個圓的圓心之間的距離大于兩圓半徑之和的時候，兩圓外離.

【例2】(2008年高考全國卷Ⅱ第25題)我國發射的“嫦娥一號”探月衛星沿近似于圓形的軌道繞月飛行.為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛星軌道平面緩慢變化.衛星將獲得的信息持續用微波信號發回地球.設地球和月球的質量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉動的周期為T.假定在衛星繞月運行的一個周期內衛星軌道平面與地-月連心線共面，求在該周期內衛星發射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間(用M，m，R，R1，r，r1和T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響).

圖2

設探月衛星的質量為m0，萬有引力常量為G，根據萬有引力定律有

(6)

(7)

式中，T1是探月衛星繞月球轉動的周期.由式(6)、(7)得

(8)

設衛星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛星繞月做勻速圓周運動，應有

(9)

式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B.由幾何關系得

rcosα=R-R1

(10)

r1cosβ=R1

(11)

由式(8)～(11)得

(12)

3 外切

當兩個圓的圓心之間的距離等于兩圓半徑之和的時候，兩圓外切.

【例3】(2007年高考海南卷第4題)粒子甲的質量與電荷量分別是粒子乙的4倍與2倍，兩粒子均帶正電，讓它們在勻強磁場中同一點以大小相等、方向相反的速度開始運動.已知磁場方向垂直紙面向里.以下4個圖中，能正確表示兩粒子運動軌跡的是

4 內切

當兩個圓的圓心之間的距離等于大圓半徑與小圓半徑之差的時候，兩圓內切.

【例4】在垂直于紙面的勻強磁場中，有一原來靜止的原子核，該核衰變后，放出的帶電粒子和反沖核的運動軌跡如圖3中的a，b所示，由圖可以判定

圖3

A.該核發生的是α衰變

B.該核發生的是β衰變

C.磁場方向一定垂直紙面向里

D.磁場方向向里還是向外不能判定

解析：原來靜止的核，放出粒子后，總動量守恒，所以粒子和反沖核的速度方向一定相反，從圖3中可以看出在磁場中向同一側偏轉，由左手定則可以判斷出它們必帶異號電荷，所以,應為β衰變.由于不知它們的旋轉方向，故無法判定磁場向里還是向外.

5 相交

當兩個圓的圓心之間的距離大于大圓半徑與小圓半徑之差，并且小于兩圓半徑之和的時候，兩圓相交.

【例5】(1999年高考全國卷第24題)如圖4，虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空間存在一磁感強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向外.O是MN上的一點，從O點可以向磁場區域發射電荷量為+q，質量為m，速率為v的粒子.粒子射入磁場時的速度可在紙面內向各個方向.已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到O的距離為L，不計重力及粒子間的相互作用.

(1)求所考查的粒子在磁場中的軌道半徑.

(2)求這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔.

圖4

(13)

(2)如圖5所示，以OP為弦畫出兩個半徑相同的圓，分別表示在P點相遇的兩個粒子的軌道，圓心和直徑分別是O1，O2和OO1Q1，OO2Q2，在O處兩個圓的切線分別表示兩個粒子的射入方向，用θ表示它們之間的夾角，由幾何關系可知

圖5

∠PO1Q1=∠PO2Q2=θ

(14)

(15)

(16)

粒子1的運動時間

(17)

粒子2的運動時間為

(18)

其中T為圓周運動的周期.兩個粒子射入的時間間隔

(19)

因

(20)

由式(13)、(19)、(20)得

通過這樣的復習課，讓學生在學習物理時，不再是緊鎖眉頭，而是喜笑顏開，因為他們在物理習題中發現了美，陶冶了情操.