平衡點對應的最大速度在各類物理題中的應用

韓雪英

(東北電力大學理學院 吉林 吉林 132012)

陳克梅 王 影

(吉林市實驗中學 吉林 吉林 132011)

平衡點是指合力為零的點，在非勻變速運動中，加速度、速度都在變化，常出現這樣的對應關系，即加速度為零的點對應速度的最大值，抓住這個隱含條件是解決問題的突破口.下面給出這一隱含已知條件在具體問題中的應用.

1 在彈簧類問題中的應用

運動過程中由于彈力是變力，引起加速度的變化，物體做非勻變速運動，當加速度a=0時，對應速度v有極大值.解決這類問題的關鍵在于抓住最大速度對應的平衡點.

圖1

【例1】如圖1所示，自由下落的小球，從它接觸豎直放置的彈簧開始，到彈簧壓縮到最大限度的過程中，小球的速度和加速度的變化情況是

A.加速度變大，速度變小

B.加速度變小，速度變大

C.加速度先變小后變大，速度先變大后變小

D.加速度先變小后變大，速度先變小后變大

解析：小球接觸彈簧后，受到豎直向下的重力和豎直向上的彈力，其中重力為恒力.在接觸的開始階段，由于彈簧的形變較小，重力大于彈力，合力向下，小球的加速度向下，由于加速度的方向跟速度的方向相同，因此,小球的速度不斷變大.在這一過程中隨著彈力的不斷增大，合力逐漸減小，小球的加速度逐漸減小.當彈力增大到和重力相等時，小球所受合外力為零，加速度等于零，此時小球具有向下的最大速度.由于慣性小球仍向下運動，繼續壓縮彈簧到最大限度的過程中，彈力大于重力，合外力向上且逐漸變大，加速度方向與速度方向相反，小球做加速度逐漸增大的減速運動.所以，選項C正確.

【例2】如圖2所示,一條輕質彈簧左端固定,右端系一小物塊,物塊與水平面各處動摩擦因數相同,彈簧無形變時,物塊位于O點.今先后分別把物塊拉到P1和P2點由靜止釋放,物塊都能運動到O點左方,設兩次運動過程中物塊速度最大的位置分別為Q1和Q2點,則Q1和Q2點

A.都在O處

B.都在O處右方,且Q1離O點近

C.都在O處右方,且Q2離O點近

D.都在O處右方,且Q1和Q2在同一位置

圖2

解析：最大速度對應加速度a=0的點，找到此點為關鍵.物塊向左運動，摩擦力向右，所以平衡點處彈力向左，彈簧處于拉伸狀態，平衡點應在O點的右側，再根據

κx=f

即

所以,平衡點的位置不會因P點的不同而不同.答案為選項D.

這類題還可以與能量問題及圖像問題結合，如將彈簧換成蹦極帶或蹦蹦床.但解題的關鍵點都在于抓住最大速度對應平衡點這一條件.

【例3】如圖3(a)所示，質量不計的彈簧豎直固定在水平面上，t=0時刻，將一金屬小球從彈簧正上方某一高度處由靜止釋放，小球落到彈簧上壓縮彈簧到最低點，然后又被彈起離開彈簧，上升到一定高度后再下落，如此反復.通過安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測出這一過程彈簧的彈力F隨時間t變化的圖像如圖3(b)所示，則

A．t1時刻小球動能最大

B．t2時刻小球動能最大

C．t2～t3這段時間內，小球的動能先增加后減少

D．t2～t3這段時間內，小球增加的動能等于彈簧減少的彈性勢能

圖3

解析：t1時刻小球剛與彈簧接觸，之后做加速度減小的加速運動；t2時刻為彈簧形變量最大的時刻，速度v=0，所以動能為零，對應的彈性勢能最大，重力勢能最小.在t1～t2之間存在重力和彈力相等的平衡點，那時的速度最大，動能最大.而t2～t3之間是t1～t2的逆過程，動能先增大后減小，彈性勢能一直減小，重力勢能一直增大.所以答案為選項C.

2 在磁場力問題中的應用

磁場力包括洛倫茲力和安培力，這兩種力都可能與速度有關，洛倫茲力的大小為

F洛=qvB

因切割磁場而產生的安培力大小為

磁場力與速度有關，變速運動過程中，與速度相關的力會發生變化，進而導致加速度的變化，物體做非勻變速運動.當物體從靜止開始做加速直線運動時，會存在這樣的隱含條件:(1)當速度v=0時，常對應加速度a的最大值；(2)當物體運動到平衡點時，加速度a=0，對應速度的最大值.物體達到最大速度后，力不再變化，從而與力相關的速度不再變化，之后物體將做勻速直線運動.這也多了一種利用力求速度的方法.

【例4】如圖4所示，套在絕緣棒上的小球，質量為m，帶有q的正電荷，小球在棒上可以自由滑動，直棒放在互相垂直且沿水平方向的勻強電場E和勻強磁場B之中，小球和直棒之間的動摩擦因數為μ，求：小球由靜止沿棒豎直下落的最大加速度和最大速度(設小球在運動過程中電荷量不變).

圖4

解析：求加速度時，對小球做受力分析如圖5.

圖5

開始運動時v=0，洛倫茲力為零，對應的加速度尚未達到最大；隨著速度的增大，洛倫茲力在增大，摩擦力f在減小，加速度隨之增大，當f=0時，彈力N=0，即qE=qvB，加速度達到最大值a=g；之后qE

N+qE=qvB

豎直方向有

f=mg

f=μN=μ(qvB-qE)

求得

物體將以最大速度vm做勻速直線運動.

【例5】如圖6所示，MN和PQ是兩根足夠長且固定的平行光滑導軌，兩導軌間距為L，導軌平面與水平面的夾角為θ.在整個導軌平面內部都有垂直于導軌平面斜向上的勻強磁場，磁感應強度為B.在導軌的MP端連有一個阻值為R的電阻，一根垂直于導軌放置，質量為m,不計電阻的金屬棒ab在距NQ端為s的地方無初速度沿導軌滑下，求：下滑過程中的最大加速度和最大速度.

圖6

解析：金屬棒到達底端前經歷了加速和勻速運動，導體ab因切割磁感線而產生感應電流，該電流受到的安培力為

加速度為

ma=mgsinθ-F

當v=0時，安培力F=0，加速度最大為

a=gsinθ

當a=0時

速度有最大值

3 在阻力問題中的應用

物體在空氣、液體或固體中運動，阻力與速度相關，速度越大，阻力受速度的影響越大，一般會出現阻力與速度的一次方、二次方或三次方成正比的情況，即f=kv，f=kv2或f=kv3.當物體由靜止開始運動的過程中，有兩個特殊位置，一是當速度v=0時，常對應加速度a的最大值；二是當物體運動到平衡點時，加速度a=0，對應速度的最大值.物體達到最大速度后，力不再變化，從而與力相關的速度不再變化，之后物體將做勻速直線運動.此速度常被稱為收尾速度.

【例6】跳傘運動員從跳傘塔上跳下，當降落傘全部打開時，傘和運動員所受的空氣阻力大小跟下落速度的平方成正比，即f=kv2.已知比例系數k=20 N·s2/m2.運動員和傘的總質量m=72 kg，設跳傘塔足夠高且運動員跳離塔后即刻打開傘，取g=10 m/s2，求：

(1)跳傘員的下落速度達到3 m/s時，其加速度多大；

(2)跳傘員最后下落速度多大.

解析：(1)對運動員受力分析，根據牛頓第二定律，可得

ma=mg-kv2

將v=3 m/s代入，加速度為

a=7.5 m/s2

(2)當a=0時

速度有最大值

代入數據得

vm=6 m/s

之后,以此速度做勻速直線運動.

4 在圓周運動中的應用

物體在做圓周運動的過程中,任何時刻都處于非平衡態.某一圓周運動速度的最大值位于平衡點處，平衡點即使物體靜止的合外力為零的點.而速度最小值位于速度最大值對應的直徑的對側端點處，并且速度最小值點恰是做圓周運動的物體最難通過的點，即物體在這點最容易脫離圓周運動軌道.這正是實際生活中圓周運動最應注意的問題，當然，也是物理考題中的易考點.解決這類問題的關鍵是做好場力分析，找到平衡位置，根據具體情況靈活應對.

圖7

圖8

解析：小球所受的重力和電場力都為恒力，故可將此二力等效為一個恒力F，如圖8所示.可知F=1.25mg，方向與豎直方向左偏下α=37°，設P點為

平衡點，則P點等效力F與電荷所受的彈力N等大反向，其直徑所對端點D為速度最小值點，是能做完整的圓周運動最難通過的點，若恰好能通過D點，即達到D點時球與環的彈力恰好為零.由圓周運動知識得

再由動能定理有

代入數據得

h=17.5R

物理題中經常會有隱含的已知條件，題中的隱含已知條件可謂“題眼”，是破譯解題密碼的關鍵所在.若能抓住題眼，便會輕松解題.首先，要學會找題眼；其次，通過情境分析能將題眼轉化成物理條件；再次，引出相關的物理公式,最終完成解題目標.上述的平衡點對應最大速度就是特點鮮明的一種隱含條件，利用平衡點處合力為零，列出平衡方程即可解題；或根據具體情況抓住其規律，像圓周運動抓住的是平衡點對應直徑的對側端點為最難通過點，經常是先求出此點的最小速度，再進一步解題.尋找規律一定要考慮實際背景，既扎實又要學會靈活，以不變的規律應萬變的題設.