引入約化質量 破解物理競賽中的二體問題

張新華

(浙江省天臺中學 浙江 臺州 317200)

題目:巴耳末系中的Hα線是指氫原子從n=3能級躍遷到n=2能級時發出的譜線,它的波長為656.280 nm.氫的同位素氘也有類似的巴耳末系,實驗測得其中的Dα譜線的波長為656.101 nm.試由此確定氫核與氘核的質量比.

1 解題思路

本文只考慮了無外力時的二體問題.如果不考慮原子核的運動，氫原子與氘原子的能級結構相同,Hα與Dα譜線的波長也應相同.實驗結果表明兩個波長有微小的差別,這說明必須考慮原子核的運動.原子核與電子之間的相互作用構成二體問題.如何將二體問題轉化為一體問題?若取原子核為參考系,核外電子的運動如何處理?

2 二體約化質量

2.1 引入

【例1】質量分別為mA和mB的質點A和B,其間作用力和反作用力分別為FA和FB.無外力,試求A相對于B的動力學方程.

μ稱為二體問題的約化質量.同樣,也可導得B相對A的動力學方程為

FB=μaB′

2.2 物理意義

兩個質點在相互作用下的運動，可約化為一個質點相對另一個質點的相對運動，仍可用牛頓第二定律求解,這時質點的質量需改用約化質量μ,即

3 問題的解決

若不考慮原子核的運動,則氫原子Hα譜線與氘原子的Dα譜線的波長相同,均為

將MH=1 836 m,λH=656.280 nm,λD=656.101 nm代入得

氘原子核的質量是氫原子核質量的2倍.值得指出的是,歷史上正是通過Hα和Dα譜線波長的測量發現了氫的同位素——氘.

4 孿生題訓練

【例2】有一個質量為電子質量210倍的τ子,它的帶電荷量與電子一樣.當它以速度8.0×105m/s飛過質子邊上時,被質子俘獲,形成τ氫原子.

(1)當這原子回到基態的躍遷中,會發出電磁輻射,試問其波長為多少?(答案:4.53×10-10m)

(2)要使處于基態的這種原子能被激發到較高能態,至少要多短波長的光加以照射?(答案:6.45×10-10m)

(3)試問處在基態時，τ子與質子的距離多大?(答案:2.81×10-13m)