“等時圓”的基本規律及巧妙應用

王睿峰

(會寧縣第二中學 甘肅 白銀 730700)

“等時圓”的知識雖然在高中物理教材中沒有涉及，但在一些資料中偶爾出現，是高中物理比較難用的一種模型.只有掌握了這種模型的基本規律，才能用它巧解物理題.“等時圓”模型如圖1和圖2.

在圖1中，不計任何摩擦，從P點到a,b,c三點及圓上任意一點的時間相等；在圖2中，不計任何摩擦，從d,e,f三點及圓上任意一點到Q點的時間相等.現證明如下.

圖1 圖2

圖3

G1=mgcosθ=ma

則

a=gcosθ

再根據位移時間關系

下面利用“等時圓”的知識巧解幾道典型題.

【題1】如圖4所示，AB和CD是兩條光滑斜槽，它們各自的兩端分別位于半徑為R和r的兩個相切的豎直圓上，并且斜槽都通過切點P.有一個小球由靜止分別從A滑到B和從C滑到D，所用的時間分別為t1和t2，則t1和t2的比為

A.1∶1 B.1∶2

解析：利用“等時圓”的知識，得

tAP=tCPtPD=tPB

而

t1=tAP+tCPt2=tCP+tPD

所以t1=t2，故選擇選項A.

圖4 圖5

【題2】如圖5所示，ad,bd,cd是豎直面內三個固定的粗糙斜面，P,a,b,c,d位于圓心為O的一個圓上;P為圓上的最高點，d為最低點.每個斜面上都放有一小球，小球與斜面間的動摩擦因數都相同.三個小球1，2，3(圖中未畫出)分別從a,b,c處無初速度釋放.用t1,t2,t3分別表示小球到達d點所用時間，則

A．t1

B．t1>t2>t3

C．t1=t2=t3

D．無法比較t1,t2,t3的大小

解析：此題若直接用“等時圓”的知識就錯選選項C.經仔細審題可以發現此題要考慮摩擦力.定性分析a,b,c到d的摩擦力，依次增大，所用時間則依次增加，故選擇選項A.

【題3】如圖6所示，在傾角為θ的斜面上方的A點處放置一光滑的木板AB，B端剛好在斜面上.木板與豎直方向AC所成角度為α.一個小物塊自A端沿木板由靜止滑下.要使物塊滑到斜面的時間最短，則α與θ角的大小關系應為

圖6 圖7

以上三道題若不用“等時圓”的規律求解，就要先作受力分析，再根據牛頓第二定律求解加速度，再用運動學知識求解時間；過程復雜，計算量大，容易出錯，尤其像題3這種動態過程，很難得到結果.因此，利用“等時圓”求解某些物理問題可以事半功倍.