準洛倫茲變換與平面電磁波方程
—— 多普勒效應

楊步恩

（大連理工大學物理與光電學院 遼寧 大連 116024）

1905年，愛因斯坦的《論動體的電動力學》闡明了電磁場的洛倫茲變換，以及相對論多普勒效應［1］.

今天回顧歷史，將以新的角度來考察該問題，即運用互為共軛的一對變換代替洛倫茲變換，通過“比例中值定理”完成電磁場的洛倫茲變換，給出動系的平面電磁波方程，電磁輻射能流和相對論多普勒效應公式.除此，指明應用極隧射線實驗來檢驗前述論斷正確與否的可能性.

1 電場和磁場的共軛變換

根據(jù)狹義相對論的基本假設：光速不變性和相對性原理，能夠得到一對互為共軛的變換.再通過比例中值定理完成洛倫茲變換.在我們看來，這是任何物理量在變換中出現(xiàn)根號的根本涵義.

如圖1所示，設兩個參考系，動系K′相對于靜系K運動.當原點O′與O重合時，自原點發(fā)出光信號，并計時（t＝t′＝0）.在t時刻，光信號波面到達P點.

圖1 K′系以速度v運動

因此，在每個參考系的觀察者看來，下述關系必定成立.從此式出發(fā)，依據(jù)相對論的基本假設，導出一對共軛變換

以式（1）、（2）變換為依據(jù)，可以證明電場E和磁場B也有一對互為共軛的變換

然后，再根據(jù)比例中值定理，即

完成洛倫茲變換

2 靜系的平面電磁波方程

如果平面電磁波在既無自由電荷，又無傳導電流的真空中傳播，那么電場E和磁場B只是坐標x和時間t的函數(shù).在此情況下，梯度符號!即蛻化為簡單形式

如此，麥氏方程組簡化為一維形式

其中D＝ε0E，B＝μ0H.

由式（9）可以證明隨時間t變化的電磁場分量Ex＝0，Hx＝0，而其余四個分量Ey，Hz以及Ez，Hy均滿足波動方程.如

分量Ez和Hy也滿足相同形式的方程.

電磁波的波速

如果方程（10）的解是簡諧電波

那么，與其伴隨的磁波，也必為簡諧波

由此可見，平面電磁波的振幅關系是

平面電磁波的能流矢量

3 動系的平面電磁波振幅

根據(jù)電磁規(guī)律的協(xié)變性可知，動系的平面電磁波也有與式（9）相同形式的方程，即

其中D′＝ε0E′，B′＝μ0H′.

由式（17）得動系的正向平面電磁波方程

下面將對式（18）作共軛變換.由式（3）～ （6），得動系的正向平面電磁波振幅

因此，用比例中值定理完成振幅E′0，H′0的洛倫茲變換為

同理，得動系中逆向平面電磁波方程

對式（22）進行共軛變換，得振幅為

因此，在洛倫茲變換下，振幅的變換為

4 電磁波相位的不變性與多普勒效應

下面根據(jù)電磁波相位變換的不變性原理，推導相對論多普勒效應公式.

對逆向傳播的電磁波而言，相位關系是

分以下三種情況討論.

（1）相位的A變換

式中的t′＋和x′＋，按式（1）進行變換，則得

因此，角頻率

同理，對逆向傳播的電磁波相位，由

（2）相位的B變換

由式（26），知道動系的角頻率

根據(jù)式（27），得到動系中逆向電磁波的角頻率

（3）電磁波相位的洛倫茲變換

根據(jù)此前給出的角頻率共軛變換，運用中值定理來完成洛倫茲變換.

由式（29）和（31），得到正向電磁波頻率為

同理，由式（30）和（32）得到逆向電磁波的頻率

上述頻率式（33）和（34），還可以直接對相位

進行洛倫茲變換而得到.

5 動系的平面電磁波方程

根據(jù)前述振幅和相位的共軛變換結果，給出動系的正向平面電磁波方程.

A變換，由式（19）得

B變換，由式（20）得

洛倫茲變換，根據(jù)比例中值定理得

同理，得到逆向傳播的電磁波方程

A變換）

B變換

洛倫茲變換

6 動系的平面電磁波能流矢量

根據(jù)電磁規(guī)律的協(xié)變性可知，動系的電磁波能流矢量為

對式（41）進行共軛變換，由式（35）和（36），得A，B變換分別為

然后，由中值定理給出洛倫茲變換下，正向電磁波能流矢量為

同理，對逆向傳播的平面電磁波，也有形式相同的能流矢量

因此，洛倫茲變換下，逆向電磁波能流矢量為

7 結論

（1）靜系的平面電磁波方程

（2）動系的平面電磁波方程

A變換

B變換

洛倫茲變換

（3）動系中逆向傳播的平面電磁波方程

A變換

B變換

洛倫茲變換

（4）動系的正向平面電磁波能流

（5）動系中逆向平面電磁波能流

8 結束語

根據(jù)電磁波相位不變性原理，也可以得到多普勒效應的光頻變換

早在相對論創(chuàng)立之初，愛因斯坦闡明測量極隧射線的發(fā)射或吸收光頻，取決于離子的運動速度，以及光源至接收器連接線的方向（即θ角）.因此，借助此現(xiàn)象可用于檢驗“相位不變性”原理及推論.計算多普勒效應縱向光譜線的位移

如果以λ為中心，那么縱向譜線移動為

因此，得縱向光譜線移動

洛倫茲變換

因此，得以λ為中心的縱向譜線移動

上述結論，需要用實驗來證實.

1 愛因斯坦著.范岱年，等譯.論動體的電動力學（文集第二卷）.北京：商務印書館，1977.83