“幾何圓”在解決物理問題策略中的應用

費云霞

(湖州市南潯中學 浙江 湖州 313009)

在高三物理復習教學中，教師除了對高中物理內容做知識點的羅列和總結外，更注重培養學生的學習方法、思維能力，使學生在解決物理問題中掌握一定的策略，以習題中用到“圓”的思想為背景，談談對這一類問題的處理.

“ 圓”是平面幾何中的重要圖形，它有一些重要的特點可以幫助我們解決物理問題.在教學中, 教師應有意識地指導學生學會利用幾何圖形, 尤其是用“圓”處理問題, 從而提高學生運用幾何知識解決物理問題的能力．

1 用“等時圓”解決物體下滑時間問題

在動力學問題中，常常會碰到討論物體沿斜面下滑的時間問題，這個時間即跟斜面的傾斜程度有關，又跟斜面的長度有關，當這兩者的關系可以用畫圓來表示時，那么用圓的有關特點去解決問題就要方便很多．

【例1】如圖1(a)所示，某軸承廠有一條滾珠傳送帶，傳送帶與水平面間的夾角為θ，上方A處有一滾珠送料口，欲使滾珠從送料口沿無摩擦的斜槽最快地送到傳送帶上，應采取的方法是

A．沿AB所在的豎直方向安放斜槽

B．過A點向傳送帶做垂線，得垂足C，就沿AC方向安放斜槽

C．應在AB和AC之間的某一適當位置安放斜槽

D．上述三種方法，滾珠滑到傳送帶上所用的時間相同

圖1

解析:以AB為直徑作圓，該圓必過C點，如圖1(b)所示從A點隨意取一條弦滑下，弦與豎直方向夾角為α，則

(1)

(2)

(3)

由三式聯立可知，從A點沿不同光滑弦滑至圓周上各點的時間與從AB自由落體滑下的時間相等，所以此題滾珠從A到C和從A到B時間一樣，而沿AB和AC之間的某斜槽到傳送帶的時間要少一點所以選C．

點評：此類型題目的原型是物體沿不同光滑斜面下滑的時間問題，斜面傾斜的角度越大，下滑的加速度就越大.但是到傳送帶的距離會變大，所以用公式法解決需要添加輔助線，問題會比較麻煩，利用圓就可以方便地解決問題，此類模型就是我們常說的“等時圓”模型．

2 用“矢量圓”解決矢量變化問題

在相互作用力這一章里，我們經常遇到在力系作用下，處于平衡的物體其所受諸力變化趨勢判斷問題．

【例2】如圖2(a)所示，質量為m的小球，用一細線懸掛在點O處．現用一大小恒定的外力F(F﹤mg)慢慢將小球拉起，在小球可能的平衡位置中，問細線與豎直方向的最大的偏角是多少?

圖2

解析：本題中研究對象小球可在一系列不同位置處于靜止，靜止時小球所受重力、細線上拉力及大小恒定的外力的合力總是為零．三力關系由一系列閉合的矢量三角形來描述，這些三角形中表示重力的矢量邊是公共邊，有一條矢量邊長度不變，畫出矢量三角形如圖2(b)所示.

點評：物理問題中如果涉及到一個矢量的大小確定，方向待定時，可以利用圓把這個力所有可能性描述出來．在小船過河時，船速小于水速, 要想航程最短, 應如何過河的問題也要涉及到畫圓求極值．

3 用“函數圓”計算玻璃的折射率

光學中做玻璃的折射率實驗時，如果沒有量角器或角度的三角函數值無法獲得，那么用圓可以解決這個問題．

【例3】某學生在做“測量玻璃的折射率”實驗時，作完光路圖后，以O點為圓心，10.00 cm長為半徑畫圓，分別交線段OA、OO′連線的延長線于A和C點，過A點作法線NN′的垂線AB交NN′于點B，過C點作法線NN′的垂線CD交NN′于D點，如圖3所示，沒有量角器無法測角度，這位學生于是用刻度尺量得AB=6.00 cm，CD=4.00 cm，則該玻璃的折射率為多少．

圖3

解析:由題意可知入射角i=∠AOB，折射角r=∠COD，則由折射率公式

可解得

n=1.5

點評:上述實驗數據處理方法是用直角三角形的邊與邊對應關系替代三角函數，避免了沒有數學用表和量角器時無法計算的尷尬，由測角度轉變為測線段長度，該題的命題者意在考查學生靈活處理實驗數據的能力．

4 用“等勢圓”解決電場中帶電粒子做功問題

在電場章節中，抽象的概念比較多，“電勢能”這一概念是學生學習的一個難點，而涉及到電場力做功的問題，也是高考的重點．

【例4】如圖4(a)所示，直角三角形的斜邊傾角為30°，底邊BC長為2L，處在水平位置，斜邊AC是光滑絕緣的，在底邊中點O處放置一正電荷Q．一個質量為m、電荷量為-q的質點從斜面頂端A沿斜邊滑下，滑到斜邊上的垂足D時速度為v，該質點滑到非常接近斜面底端C點時，速度vC為多少，沿斜面向下的加速度aC為多少.

圖4

(4)

h=BDsin60°=BCsin30°sin60°

(5)

由式(4)、(5)得

mgsinθ-fcosθ=maC

(6)

(7)

由式(6)、(7)得

點評：在電場中，真空中靜止點電荷產生的等勢面是一個個的同心圓，而在等勢面上任意兩點間的電勢差為零，在等勢面上移動電荷電場力不做功，所以在點電荷產生的電場中計算電場力做功，可以用等效法畫圓計算．

在電磁感應中，變化的磁場可以產生渦旋電場，與此相關的題目有時也要用到圓的相關特點．對于這類具體問題，可另做具體分析.

5 用“軌跡圓”解決磁場中帶電粒子運動問題

帶電粒子垂直進入勻強磁場區域, 在磁場區域內經歷一段勻速圓周運動．既然軌跡是個圓的話，在解決此類問題時就有可能用到一些有關圓的特點．

【例5】如圖5中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線, 在平面右側的半空間存在一磁感應強度為B的勻強磁場, 方向垂直紙面向外，O是MN上的一點, 從O點可以向磁場區域發射電荷量為+q、質量為m、速率為v的粒子,粒子射入磁場時的速度可在紙面內各個方向．已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇,P到O的距離為L. 不計重力及粒子間的相互作用．求這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔．

圖5

解析：帶正電q，速率v的粒子, 從O點垂直進入磁場，在洛倫茲力的作用下,做勻速圓周運動．因帶電粒子射入磁場時速度方向可在紙面內沿各個方向, 畫出帶電粒子在此磁場中的軌跡，整圖可能情況如圖5所示，而先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇, 這說明兩粒子運動的軌跡是以OP為公共弦的兩相交圓, 如圖6所示.

圖6

(8)

(9)

(10)

由式(8)～(10)聯立得

點評：帶電粒子在勻強磁場中運動是高中物理的一個重點, 也是一個難點．因此, 如何指導學生掌握解決此類問題的解法很重要，而畫圓是解決磁場中帶電粒子運動的重要方法．在用圓解決磁場中粒子的運動問題時經常要用到一些圓的特點，比如圓心角與弧長的關系、垂徑定理、相交圓定理、圓的內接四邊形的性質定理、圓的對稱性等．

參考文獻

1 賈紀云. 圓在處理物理問題中的妙用.數理化學習，2006(Z1)

2 鄭清俊，孫富貴.用圓的定理解物理問題.物理教師，2001：(9)

物理實驗教學