彰顯孿生題中的比較思維

吳宗德

(江陰市第一中學 江蘇 無錫 214400)

從繁雜的物理情景和物理過程中思辨“同中求異”、“異中求同”，就是物理比較思維．物理比較思維能力被認為是創造性思維能力的基礎，培養和發展學生創新思維能力是新課標提出的新理念．

比較是在頭腦中確定事物共同點與不同點的思維過程，有比較才有鑒別．通過比較，使被比事物本質特征更加清晰，從而確切認識它們的區別和聯系．物理學中有許多形同質異、貌似神離的問題．

本文就幾個孿生題為例，以培養學生比較思維能力，激發學生創造力．

1 定桿與動桿

【例1】如圖1(a)所示，質量為m的物體用細繩OC懸掛在支架上的O點，輕桿OB可繞B點轉動，∠AOB=30°,求細繩OA中張力T大小和輕桿OB中O點受力N大小．

圖1

解析:本題是動桿問題．輕桿OB可繞B點轉動,所以在B處相當于鉸鏈，輕桿OB對節點O的作用力必定沿BO方向，所以對節點O進行正交分解易得

Tsin30°=mgTcos30°=N

解得

孿生題1.如圖1(b)所示，水平橫梁一端B插在墻壁內，另一端裝有小滑輪O，一輕繩一端A固定于墻壁上，另一端跨過滑輪后懸掛一質量為m重物，∠AOB=30°，求細繩OA中張力T和橫梁一端對O的作用力N大小．

解析：本題是死桿問題．由于水平橫梁一端B插在墻壁內，所以橫梁對小滑輪O的作用力的方向是不能確定的，不能簡單地認為沿水平BO方向．由于是滑輪，所以細繩OA、OC中張力T=mg，根據3個力的平衡特點：橫梁一端對O的作用力與細繩OA、OC的合力是一對平衡力

感悟：例1中輕桿OB可繞B點轉動，是“活桿”，它產生的彈力必定沿著桿的方向；而孿生題1中水平橫梁一端B插在墻壁內，是“死桿”，它產生的彈力方向不一定沿著桿的方向．尤其在力矩不作為江蘇省高考考綱要求的情況下，學生在分析桿的彈力時一定要弄清是“活桿”，還是“死桿”，否則就要出錯．

2 重盤與輕盤

圖2

【例2】如圖2所示，彈簧秤秤盤的質量m=1.5 kg，盤內放一質量為M=10.5 kg的物體，彈簧質量不計，其勁度系數為κ=800 N/m，系統處于靜止狀態.現給M施加一個豎直向上的力F，使M從靜止開始向上做勻加速直線運動，已知在t=0.2 s內F是變力，在t=0.2 s以后F是恒力，問F的最大值和最小值各是多少？

解析：本題是“重盤”模型問題．因為在t=0.2 s內F是變力，在t=0.2 s以后F是恒力，所以在t=0.2 s時，M離開秤盤．此時M受到盤的支持力為零，由于盤的質量m=1.5 kg，所以此時彈簧不能處于原長狀態．設在0～0.2 s這段時間內M向上運動的距離為x，對物體M根據牛頓第二定律可得

F-Mg=Ma

對于盤和物體M整體應用牛頓第二定律可得

F+κΔx1-(M+m)g=(M+m)a

靜止時對整體

(M+m)g=κΔx2

而

所以求得

a=6 m/s2

當M開始運動時拉力最小，此時對盤和物體M整體有

Fmin=(M+m)a=72 N

當M與盤分離時拉力F最大

Fmax=M(g+a)=168 N

孿生題2：如圖2所示，彈簧秤秤盤質量和彈簧質量都不計，盤內放一個質量為M=12 kg的物體處于靜止狀態，彈簧的勁度系數κ=800 N/m．現給M施加一個豎直向上的力F，使M從靜止開始向上做勻加速直線運動，已知在t=0.2 s內F是變力，在t=0.2 s以后F是恒力，問F的最大值和最小值各是多少？

解析：本題是“輕盤”模型問題．因為在t=0.2 s內F是變力，在t=0.2 s以后F是恒力，所以在t=0.2 s時，M離開秤盤．此時M受到盤的支持力為零，由于盤和彈簧的質量都不計，所以此時彈簧處于原長狀態．設在0～0.2 s這段時間內M向上運動的距離為x，則

因為

所以M在這段時間的加速度

當M開始運動時拉力最小，此時對物體M有

F=Ma=90 N

當M與盤分離時拉力F最大，有

小學教師在開展語文教學的過程中，要想將小組合作的效用展現出來，師生間的密切配合，往往是必不可少的。至此，在這其中，教師一定要充分地發揮出自身的效用，來輔助學生找尋角色定位，使學習目標得到進一步地明確，保障小組合作的順利開展，使每位學生都有所收獲，將該模式的效用展現出來。

Fmax=M(a+g)=210 N

感悟：例2中“重盤”的質量是不能忽略的，因此當物體M與“重盤”脫離時，彈簧必定處于壓縮狀態．孿生題2中“輕盤”的質量是可以忽略的，因此當物體M與“輕盤”脫離時，彈簧必定處于原長狀態．弄清了這一區別，在求解相關問題時就不會出錯．

3 平衡與非平衡

【例3】如圖3(a)，一個直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB豎直向下，表面光滑，AO上套有小環P，OB上套有小環Q，兩環的質量均為m，兩環間由一根質量不計、不可伸長的細繩相連，并在某一位置平衡，現將P環向左移一小段距離，兩環再次達到平衡，那么將移動后的平衡狀態和原來的平衡狀態比較，AO桿對P環的支持力N和摩擦力f的變化情況是

A．N不變，f變大 B．N不變，f變小

C．N變大，f變大 D．N變大，f變小

圖3

解析：本題是Q處于平衡態．P和Q在移動前后的兩個狀態下都處于平衡狀態．如圖3(b)所示，設∠OPQ=θ,對整體P和Q在豎直方向上：FN=2mg，FN前后保持不變．

對Q：Tsinθ=mgθ變大推得T變小

對P：f靜=TcosθT和cosθ變小推得f靜變小

答案為選項B.

孿生題3.如圖4(a)，一個直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB豎直向下，表面光滑，AO上套有小環P，OB上套有小環Q，兩環的質量均為m，兩環間由一根質量不計、不可伸長的細繩相連，用水平向右的作用力F使小環P勻速向右平動．在平動過程中，AO對小環P的支持力N及滑動摩擦力f的變化情況是

B．N變大，f變大

C．N不變，f變大

D．N變大，f不變

圖4

解析：本題是Q處于非平衡態．利用P和Q連接體任意時刻在沿繩方向速度相等．如圖4(b)所示，設∠OPQ=θ，則

vPcosθ=vQsinθ

vQ=vPcotθ

在P向右勻速運動、Q向上運動的過程中，θ一直減小.vP為定值意味著vQ將變大，所以Q加速上升．

利用vQ=vPcotθ等式兩邊分別對t求導得

利用M，P沿繩速度相等和下式

vMcos(90°-2θ)=vPcosθ

式中負號表示方向， 所以等式可以簡化為

從上式中可看出，θ減小.則aQ將變大，所以Q在豎直方向上做加速度增大的加速運動.

利用系統牛頓第二定律在豎直方向上，則

N-2mg=maQaQ變大推得N變大

f=μNN變大推得f變大

感悟：例3中P和Q均處于平衡態，而孿生題3中P處于平衡態，Q卻處于非平衡態，很容易造成思維定勢，記得在近三年，蘇州、無錫、常州、鎮江4城市聯考中，當時此題給出的參考答案也是按照平衡態來處理的，可能就是沒有注意到這兩孿生題之間的區別．

4 相切與全發射

【例4】如圖5(a)所示，空心透明球殼折射率為n，內外半徑分別為a和b，內表面涂有吸光物質，可將射到內表面的光線完全吸收，當一束平行光線射向此球時，被吸收掉的光束截面積多大？(指這部分光進入空心球以前的橫截面積)

圖5

被吸光束截面半徑為

R=bsini=na

所以被吸光束截面積為

S=πR2=πn2a2

孿生題4.如圖6(a)所示，用折射率為n的透明介質做成內、外半徑分別為a和b的空心球殼，當一束平行光射向此球殼，經球殼外、內表面兩次折射，而能進入空心球殼的入射平行光束的橫截面積是多大？

解析：本題是全反射．根據對稱性可知所求光束的截面應是一個圓，如圖6(b)，設入射光線AB為所求光束的臨界光線，入射角為i，經球殼外表面折射后折射角為r，因為AB為臨界入射線，所以射向內表面的光線的入射角應正好等于臨界角θc．在△OBE中，由正弦定理得

由于

所以

由幾何關系可得

R=bsini=a

所求平行光束的橫截面積

S=πR2=πa2

感悟：例4解題的關鍵是抓住臨界光線——吸掉的最邊緣的光線剛好與內表面相切，孿生題4中的臨界光線——射向內表面的光線恰在E點發生全反射．

多年物理教學中筆者發現，通過比較孿生題，不僅能訓練比較思維能力，而且對物理模型、條件、知識的理解更深刻．求解“孿生題”的整體效果比把它們分開，解孤立的兩題效果好得多．