信用等級變動下企業破產概率的研究

【摘要】本文建立了企業信用等級變動的模型。該模型包含了Yang（2003）考慮到的情形，也包含了違約情形。本文在假設信用等級轉換遵循具有吸收狀態的齊次馬氏鏈前提下，推導了公司破產后赤字的分布的遞推公式，并通過給出數值算例使得結果更加清晰。

【關鍵詞】信用等級具有吸收狀態的馬氏鏈破產概率遞推公式

一、引言

在保險精算學科中，破產理論已經成為了長期研究中的熱點領域。顯然，破產理論與金融工程中的違約風險有著緊密的聯系。信用風險和信用衍生品是金融界興趣的焦點。J. P. Morgan的“信用風險度量簡介”對這方面進行了綜述，另外Das (1995)， Das and Tufano (1996)， Duffie (1998) 等也對這方面進行了研究。Jarrow et al.(1997) 在公司信用等級的轉移服從馬氏鏈的假設前提下對其違約概率進行了研究，Kijima and Komoribayashi (1998) 和 Yang (楊海亮，2003) 對該模型的前提進行了進一步拓展。Arvanitis et al. (1999) 則建立信用溢價模型，馬氏鏈狀態間的轉移代表了動態的信用等級的變動。在國內，對此的研究才剛剛開始。魏躍 (2008) 專門對保險企業的破產概率進行了研究，更早的研究則主要是假設泊松(Poisson)分布的條件下對企業破產進行研究，比如：王楚和孔繁超 (2007)，蔡高玉和耿顯民 (2007)。

本文中我們將信用風險理論和破產概率理論結合起來，在離散時間框架下，對存在信用等級轉移公司的有限時間破產概率問題進行研究。與Jarrow et al. (1997)， Kijima and Komoribayashi (1998) 和 Yang (2003)相類似，我們假設公司信用等級的轉移服從馬氏鏈，但與其假設的不同之處在于，我們將違約狀態考慮進來，也即我們將馬氏鏈的假設拓展為帶有吸收狀態的馬氏鏈。從穆迪(Moody)公司的特別報告(Special Report， 1992)中可以看到，這一模型針對投資等級債券較之于投機等級債券更加合理。通過迭代方法，我們可以計算出有限時間破產概率的遞推公式，同時為了使問題的說明更加明晰，我們給出了一個數值算例。

本文的組織結構如下：第二部分給出了數理公式與模型。第三部分我們將在考慮信用等級轉移的情況下，對公司破產后赤字的分布給出遞推公式。為使問題的闡述更加清晰，第四部分則給出破產后赤字分布的數值算例。

二、模型

本文假設公司資產服從如下方程

(1)

其中u表示公司初始資產（或是企業可承受的最大化損失）， 為第n個時間區間內當公司信用等級為i時其資產的損益。該模型指出，在每一段區間的初期，評級機構將提供一個信用評級來評估企業的償債能力（償付潛在的要求，也就是說在一家保險公司案例中考察其償債能力）。我們運用具有吸收態的馬爾可夫鏈來模擬企業信用評級的動態過程，也就是說在我們的模型中，評級機構定義的違約信用等級將會在我們的考察范圍中，這樣將使我們的理論研究更貼近于現實。

本文我們假設It遵循狀態空間為N={1， 2， …， k}的具有吸收態的齊次馬氏鏈，其中狀態1表示最高的信用等級，狀態k代表最低的投資信用等級。狀態k+1為金融企業遭遇嚴重的經營問題時的狀態。在k+1狀態下，絕對不能投資于該企業，因為它的負債有很高的違約概率。而且也很難從該種狀態下走出。這樣，我們有了第一個假設：

假設1：違約等級k+1是可吸收馬氏鏈中的吸收態。就是說一旦企業落入這一等級，將不會再重新評入其他等級。

在穆迪的評級體系中，情形1被定義為Aaa，情形k被定義為Caa而情形k+1被定義為違約情形。相對應的是，在標普評級體系中，情形1被定義為AAA，情形k被定義為CCC，而情形k+1被定義為違約情形。有

假設2：資產組合在第n區間的變化僅僅依賴于第n期的信用評級。

假設3：對于任何固定的i =1， …， k，(m = 1， 2， …)都獨立同分布。

假設4：如果一個企業被評為違約等級，它將不會轉移到別的等級而且將被視為破產。因此當我們認定在第n期發生破產時，就暗示出要么或是其落入了違約等級。

使T = inf{n; (Un ≤ 0)∪(In = k +1)}為破產時間。在時期n或n之前的破產概率可被定義為：

(4)

三、破產概率的遞推公式

在風險理論中，精算人員熱衷于某些精算變量，尤其是破產后企業赤字的研究，從而確定出企業風險。本文中，我們將在考慮信用等級轉移的情況下對公司破產后赤字的分布給出遞推公式。這里我們使用

（5）

來描述破產赤字的分布。考慮到破產問題的復雜性，我們必須作一些準備。破產的條件有兩個，然后我們要將破產概率分解為包含于兩個命題中的兩部分。這里我們仍然運用遞推程序。通過運用如下遞推公式可獲得這一分布：

命題3.1 用

其中i0 =1， …， k。值得注意的是，因為Hni(u+x， y) ≤ 1和F(x)為分布函數，所以其總體集中度非常明顯。

最后，我們得出破產赤字分布的遞推公式。

因此，類似于前一部分，破產赤字的分布能夠通過以上可連接的Volterra積分方程組獲得。

四、 數值算例

這里，我們給出一個數值算例。在文獻中，通常假設資產損益分布服從正態分布，但實際上，這并不總是適合于任意一家公司。在本文中，我們選取了較多重尾分布的模型來描述資產組合的改變。假設資產損益在每個時間間隔的分布服從轉移t分布，即，為轉移參數（即）為轉移t分布的自由度。在這個例子中，我們設定=9， =2; =17， =1.5; =15， =1; =13， =0.5; =11， =0; =9， =0.5; =7， =1。通過這些參數，容易看出服從自由度為9的轉移t分布，因此其分布呈現出正偏和輕尾的特征，取負值的概率較小；服從自由度為7的轉移t分布，因此分布負偏呈重尾特征，取負值的概率較高。

表1給出了運用遞推公式（5）和（6）計算出的破產概率的數值算例。從這個表格中，我們可以看到，如果一個公司的信用等級為1（如穆迪公司評級中的最高等級Aaa或標準普爾公司評級中的最高等級AAA），公司在接下來10年中的違約概率幾乎為0。當信用等級下降時，違約概率就會上升。如果公司的信用等級為7（如穆迪公司評級中的最低等級Caa或標準普爾公司評級中的最低等級CCC），其將有超過20%的概率破產。

參考文獻

[1]蔡高玉， 耿顯民. 帶干擾的雙復合Poisson風險模型[J]. 大學數學， 2007， 23(1).

[2]王楚， 孔繁超. 帶干擾的雙復合Poisson模型的破產概率[J]. 安慶師范學院學報（自然科學版），2007， 13(2).

[3]魏躍. 最優投資情形下保險企業的破產概率研究[D]. 吉林大學碩士學位論文， 2008.

作者介紹：劉敬童（1979-），女，漢族，四川鄰水人，任職于中國石油天然氣管道局新聞中心。研究方向：政治經濟學；陳罡（1982-），男，漢族，黑龍江人，任職于華電國際電力股份有限公司。研究方向：保險精算。

（責任編輯：劉琦）