貝葉斯推斷下Black-litterman模型的推導及運用

[摘 要]本文指出了均值方差模型存在的問題，在貝葉斯理論下推導了Black-litterman模型，貝葉斯推斷過程本身也表明投資者還可以通過對先念分布做不同假定來實現預期收益率的生成，提高模型的穩定性。

[關鍵詞] 均值方差模型 Black-litterman模型 貝葉斯推斷

一、均值方差模型存在的問題

Michaud(1989) 全面討論了均值方差模型（下簡稱MV模型）在實際應用中存在的問題，發現模型經常導致與現實不太一致的組合，甚至不如平均權重組合的實際效果，具體來說均值方差模型有以下缺點：

第一，在無賣空限制條件下，MV模型經常導致在一些資產上有很大的空頭頭寸（Black，litterman，1992）。實踐中，大量投資者具有賣空約束，如果對賣空進行限制，模型經常導致在某些資產上權重為零，而在另一些資產上權重過大，即出現資產配置過于集中的現象。在允許賣空情況下，部分資產（股票）有大量多頭頭寸，而另一些資產（股票）存在大量空頭。不允許賣空情況下，則往往出現某一項或幾項資產（股票）權重過高，有時甚至達100％。

第二，如果對輸入參數作小幅度變化，可能導致模型結果發生劇烈變化（Fish，Statman，1997），即模型對參數過度敏感。比如，某一股票在原有投資組合中權重為1％，如果只對其預期收益率作很小的變化，比如，預期收益作千分之一的小幅上調，則資產配置發生劇烈變化，尤其是預期收益不變的一些個股權重的也會大幅變化，這與我們投資直覺經驗十分不吻合，并且在實踐中組合的權重劇烈變化會引起交易成本的大幅上升。

第三，傳統MV模型中，相同預期收益，不同信心確定程度，資產組合權重相同，沒有對信心水平做出差異化表達。在實踐投資中，當投資對不同資產作出相同預期收益，但其對這一判斷的確信程度可能不同，在傳統MV模型中，這類情況是無法區別對待。

第四，MV模型在確定權重時不考慮市場組合自身的權重，因此，由于較高的預期收益，一些市場權重很小的資產（股票）在組合中權重卻極高，如果加入賣空限制這一情況更為嚴重，這使得在實踐投資存在流動性問題，即在過小市值的證券資產上投資資金過大，難以買到足夠的份額，或者能買到，但引起較大沖擊成本，最終導致投資組合無法進行。

第五，由于對輸入參數極為敏感，在對預期收益采用歷史數據估計時候，不同歷史采樣區間，組合權重輸出結果變化極大，投資者難以確定其合理性。對于一些事前進行分析的實證策略很容易存在數據挖掘問題，模型不具穩定性。

二、Black-litterman 模型及其合理性

Black和litterman(1992)在Markowitz組合模型的基礎上建立了Black-litterman 模型（下簡稱BL模型），旨在解決MV 模型中所面臨的這些實際問題，如非直覺性、過度集中、參數敏感等。He和Litterman （1999）進一步對比了均值方差模型與Black-litterman 模型的差異。與Stein(1955)采用收縮估計量(Shrinkage Estimation)來解決參數的敏感性問題相似，BL模型主要是通過主觀判斷預期收益率與市場隱含收益率進行某種程度的加權，從而有效解決了MV模型對收益率數據過于敏感的問題。BL模型中預期收益率生成公式如下：

其中， 表示新的加權后的收益向量（n×1列向量）， 表示比例關系（常數），P表示主觀看法資產矩陣（k×n矩陣）， 表示看法置信度矩陣（k×k矩陣）， 表示隱含均衡收益率向量（N×1列向量），Q表示看法向量（k×1列向量），T表示轉置，-1表示矩陣求逆。

從BL模型中預期收益率生成公式看出，主觀判斷的預期收益率Q向隱含均衡收益率 收縮，隱含均衡收益率由MV模型在均衡狀態下求解得到：

，其中， ，表示單位風險的超額收益， 表示市場組合收益， 表示無風險收益， 表示市場組合方差， 為市值權重。

BL模型中允許投資者擁有與一致預期收益不一樣的個人觀點主觀判斷，并且投資者在作出資產選擇的時候，無須對所有資產擁有自己的觀點，他可能只就某類、某個資產具有主觀判斷，而且這樣判斷具有不確定性，或者說，投資者可以對自己的判斷作一個信心水平的附加判斷。正是因為這樣一些特點，BL模型有效解決了MV模型中的非直覺性、權重過度集中、輸入參數敏感等問題。

三、貝葉斯理論下Black-litterman 模型的推導

一直以來，Black和litterman沒有公布BL模型的推導過程，本文采用貝葉斯估計方法推導BL模型，具體如下：

假定預期收益率先驗分布為， ，其中， ，可以理解為單位市場風險溢價。真實預期收益未知情況下，從市場均衡來做估計， 假定 服從 分布。正態分布的線性函數還是正態分布，即 。假定投資者具有收益率的看法， 服從 。根據貝葉斯理論，后驗分布也是正態分布，先驗分布密度函數：

似然函數密度函數：

根據貝葉斯公式得：

其中， ， ，

，用正態分布的期望作為一個預期收益率的貝葉斯估計：

令 ， ， ，

，則可得到BL模型：

從這里我們可以看到Black-litterman模型本質上是貝葉斯估計。Black-litterman模型提供了對先驗分布的便利構造，是一種很好的實踐方式，但這同時也失去了對貝葉斯估計更為一般性的計論。貝葉斯推斷過程清楚表明還可以通過對先念分布做不同假定來實現預期收益率的生成，同時，有效避免傳統均值方差模型中存在的問題，提高模型的穩定性。

參考文獻：

[1]Fischer Black， Robert Litterman， Global Portfolio Optimization， Financial Analysts Journal， Sep/Oct 1992， 48(5)

[2]Andrew Bevan， Kurt Winkelmann， Using the Black-Litterman Global Asset Allocation Model: Three Years of Practical Experience， Goldman Sachs Fixed Income Research， June 1998

[3]Robert Litterman， Kurt Winkelmann， Estimating Covariance Matrices， Goldman Sachs Risk Management Series， January 1998

[4] Black， F.， and R. Litterman， “Asset Allocation: Combining Investor Views with Market Equilibrium，” Journal of Fixed Income， September 1991