函數復習課中“一題多變”的教學實例

復習題課對學生所學過的知識能夠起到檢查、鞏固、提高、拓展的功效，在進行高三復習課的教學過程中，應當適當安排一些習題課.然而，習題課的選題，容量怎樣安排才合理，效益如何提高，如何培養學生的良好思維品質，我一直在思考、在嘗試.我認為習題課絕不是簡單的習題介紹，也絕不是對教輔資料的處理，習題課題目的選擇和教學安排應該遵循兩個原則：一是整理知識、整頓習慣、整合思維的原則；二是引導思考、自主探究、激活思維的原則.在備課時，首先確定好這一節課的目標以及每個選題的目標，然后圍繞這一目標進行廣泛閱讀、篩選、重組，盡量編成“一題多變”的題目，這樣，教學容量、效益才能有很大的提高.

以下是本人對高三函數單元教學習題課設置的“一題多變”教學案例.

【例】 已知兩函數m(x)=8x2+16x-k，n(x)=2x3+5x2+4x，其中k∈ R .

（1）對任意x∈［-3，3］，都有m（x)≤n(x)成立，求k的取值范圍；

（2）存在x∈［-3，3］，使m（x)≤n(x)成立，求k的取值范圍；

（3）存在x∈［-3，3］，使m（x)=n(x)有解，求k的取值范圍；

（4）對任意x1、x2∈［-3，3］，都有m（x1)≤n(x2)，求k的取值范圍；

（5）對任意x1、x2∈［-3，3］，對任意x1總存在x2滿足m（x1)=n(x2)，求k的取值范圍.

解析 ：（1）設f(x)=n(x)－m(x)=2x3-3x2-12x+k，問題轉化為x∈［－3，3］時，使函數h(x)≥0恒成立，故f(x)min≥0.令f′(x)=6x2-6x-12=0，得x=－1或2.所以函數f(x)在區間［－3，－1］單調遞增，在區間［－1，2］單調遞減，在區間［2，3］單調遞增.因為f(2)=-20+k，f(-3)=k-45，

故f(x)min=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.

（2）據題意，存在x∈［-3，3］，使m（x)≤n(x)成立，即為f(x)=n(x)－m(x)≥0在x［-3，3］有解，故只需f(x)max≥0.由（1）知f(x)max=k+7，于是k≥－7.

（3）設f(x)=n(x)－m(x)=2x3-3x2-12x+k，當x∈［-3，3］時，由（1）知f(-1)=7+k，f(2)=-20+k，f(-3)=k-45，f(3)=k-9，故f(x)min=－45+k，f(x)max=7+k.所以－45+k≤0≤7+k，得－7≤k≤45.

（4）對任意x1，x2∈［-3，3］，都有m（x1)≤n(x2)成立，由于兩個函數的自變量不一定相同，即x1，x2的取值在［-3，3］上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要條件是：函數m(x)的最大值小于或等于函數n(x)的最小值.而由n(x)=2x3+5x2+4x，知n′(x)=6x2+10x+4=0，得x=- 2 3 或-1，函數n(x)在區間［－3，－ 2 3 ］單調遞增，在區間［－ 2 3 ，－1］單調遞減，在區間［-1，3］單調遞增，易求得函數n(x)min=－21.

而函數m(x)=8x2+16x-k，其對稱軸x=－1，所以m(x)max=m(3)=120－k，所以120－k≤－21，

即k≥141.

（5）n(x)=2x3+5x2+4x，由（4）易得函數n(x)min=－21，函數n(x)max=111，故-21≤n(x)≤111.

又m(x)=8x2+16x-k，

x∈［-3，3］，由(4)得m(x)max=m(-1)=-8-k，所以-8-k≤m(x)≤72-k，由任意x1總存在x2滿足m（x1)=n(x2)，說明函數m(x)在區間［-3，3］的值域為n(x)在區間［-3，3］的值域子集，即有-8-k≥-21且72-k≤111，所以-39≤k≤13.

點評： 本題的五問，表面形式非常相似，究其本質反應的問題卻不同:（1）是含參不等式恒成立的問題;（2）是含參不等式存在性的問題；（3）是含參方程有解的問題；（4）是不同函數取不同變量恒成立的問題；（5）是兩函數取不同值時存在性的問題.在解題中均是利用函數的單調性、最值、數形結合等方法求解. 

因此利用“一題多變”進行教學，能夠引導學生思考，便于學生提高分析問題的能力和對所學知識加深理解，同時也有促進學生梳理知識，整合解題方法的作用，從而提高學生對所學知識綜合運用的能力. 

（責任編輯 金 鈴）