數學直覺思維的挖掘與培養

愛因斯坦曾指出，我們在創造發明等活動中可以憑直覺抓住思維的“閃光點”，因此，“真正可貴的因素是直覺”.然而由于升學的壓力，我們的數學教育往往偏重于邏輯方法，特別是演繹推理能力的培養.作為教師的我們也往往過于強調學生要“言之有理，言之有據”，從而忽略了對學生數學直覺思維能力的培養，很少讓學生去感覺、去猜想.

一、對數學直覺的認識 

直覺是一種非邏輯的領悟或洞察.如波利亞所描述的那樣：一個突然產生的、展示了驚人的新因素的想法，具有一種令人難忘的重要氣氛，并給人以強烈的信念.直覺是自發的，直覺的認識常常具有突然性，或者說，即是常常表現為豁然開朗.

雖然直覺的產生是自發、突然性、不可解釋、不可預期的，但是就如徐利治教授所說：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的.”可見數學直覺是可以通過培養提高的.那有何“妙方”能使它產生，它又來自哪里呢？

二、數學直覺的培養 

1.善待直覺 

牛頓說過，沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.盡管猜想是冒險，有爭議的，但我們所學到的關于世界的任何新東西都包含著合情推理.在很多情況下，數學家在開始可能連要研究什么問題都沒有弄清楚，更不要說提出什么定義和定理了.他們通常憑著觀察、猜想、直覺等歸納出其中的規律.作為一個數學教師，就是要善待學生的直覺，給他們更多的思考的時間與空間.因此，我們所做的不僅應當注意“保護”學生已有的猜想能力和直覺能力，還應注意幫助學生學會合理的猜想方法，并使他們的直覺思維不斷得到發展和趨向精致.

例如：已知函數f(x)= 2ax+a-4 2ax+a (a＞0，a≠1)是定義在 R 上的奇函數.

（1）求實數a的值；

（2）判斷f(x)在定義域上的單調性，并用單調性定義證明；

（3）當x∈(0，1］時，t#8226;f(x)≥2x-2恒成立，求實數t的取值范圍.

這是浙江省桐鄉一中2009學年第一學期期中測試高一數學試卷中的最后一題.此題第(3)問原來的參考答案是:

不等式t#8226;f(x)≥2x-2，∴（2x）2-（t+1）#8226;2x+t-2≤0，

令u=2x，x∈(0，1］，則u∈(1，2］.

于是，當x∈(0，1］時，t#8226;f(x)≥2x-2恒成立，

即當u∈(1，2］時，u2-(t+1)u+t-2≤0恒成立.

令g(u)=u2-(t+1)u+t-2，

∴ g(1)≤0，g(2)≤0  1-(t+1)+t-2≤0，4-2(t+1)+t-2≤0 t≥0.

所以實數t的取值范圍是［0，+∞).

我講完參考的方法后提問有沒有其他的解法.這時忽然有一位女生站起來說：“老師，此題的答案是t大于等于0嗎？”

師：是的.

生：我觀察此題，有一種很簡單的方法.

師：請你把方法敘述一遍.

生：此題當x∈(0，1］時，左邊的f(x)= 2x-1 2x+1 的值一定大于0，右邊2x-2的取值范圍是（-1，0］.此題就是求（2x-2）除以f(x)= 2x-1 2x+1 的最大值，正數與非負數的積最大值就是0.

學生發出了驚嘆:原來有這一招！我及時地對這位女生的奇思妙想給予充分地肯定，并引導學生主動探究此法是在什么情況下使用.此節課該生的思維異常活躍，學生的探索欲望也十分高漲.因此，我們教師要善待學生的直覺，作好引路人，要“引”學生大膽設問，“引”學生各抒己見，“引”學生充分活動.讓學生猜想問題的結論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能.對于學生的大膽設想應給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護學生的自發性直覺思維，學生就能還我們教師一個驚喜.

2.教些直覺 

笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的.直覺的獲得雖然具有偶然性，但絕不是無緣無故地憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎.

因此，在掌握了“通法”的基礎上，可以精選奇思妙想的習題穿插于教學之中，通過分析和講評，激發學生的興趣，形成學生主動參與、探索的教學氛圍.

例如:如圖1，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC（端點除外）上一動點．現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足．設AK=t，則t的取值范圍是___

圖1 

此題可引導學生利用直覺意識發現此題可采用兩個極端位置法來解決，即對于F位于DC的中點時，t=1，隨著F點到C點時，因CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，對于CD=2，BC=1，∴BD= 3 ，又AD=1，AB=2，因此有AD⊥BD，則有t= 1 2 ，因此t的取值范圍是 1 2 ，1 .

又如，設點P為三角形ABC的外心，若AB=2，AC=4，則AP #8226;BC = .當我在課堂上出示該題時，不到一分鐘，班上的小A問我：“老師，答案是6嗎？”我肯定地點點頭，問：“你是怎樣求出來的？”小A說：“直覺告訴我，把三角形看成特殊的直角三角形，∠A=90°，這時點P在斜邊BC的中點，因此

AP #8226;BC = 1 2 （AC +AB ）（AC -AB ）得出答案是6.”

這時班上的其他學生不約而同地說：“你的直覺好厲害呀！”

3.尋找直覺 

數學大師阿達瑪認為，數學直覺的本質是某種“美感”或“美的意識”.數學之美體現在方方面面，也許美在她的對稱，也許美在她用幾個字符就能表達若干信息，也許美在她大膽假設和嚴格論證的偉大結合，也許美在她對一個問題論證時的奇妙感受.尋找數學之美就是尋找數學直覺.

例如：已知x，y，z∈ R ﹢，且x+y+z=1，

求 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 的最大值.

分析:直接求最大值，無從下手.觀察變量x，y，z可知它們在條件中均具有對稱性，可預測當x=y=z= 1 3 時， 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 取最大值.此時，它的值為 4× 1 3 +1 + 4× 1 3 +1 + 4× 1 3 +1 = 21 .

從而 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 ≤ 21 

又如，二項式定理的展開式也可利用數學的對稱性來猜想結論.

以上例子利用了數學的對稱美得到結論.因此，通過提高對數學美的鑒賞力來培養學生的數學直覺思維，是非常必要的.

（責任編輯 金 鈴）