一個求最值問題的推廣

《數(shù)學(xué)通報》2010年第7期問題1863如下：

設(shè)x，y∈R+，x+2y=3，求1[]x3+λ[]y3的最小值.

原題解答：

解 設(shè)1[]x3+2[]y3=k，1=1[]k1[]x3+2[]y3.

又 1=x+2y[]3，

構(gòu)造“數(shù)學(xué)式”：4=3+1=3·x+2y[]3+1[]k1[]x3+2[]y3

=1[]kx3+x[]3+x[]3+x[]3+2[]ky3+2y[]3+2y[]3+2y[]3

≥4x[]4[]27k+8y[]4[]27k=4(x+2y)[]4[]27k=4·3[]4[]27k .

依4≥4·3[]4[]27k，解得k≥3.

當(dāng)3[]kx3=x[]3，2[]ky3=2y[]3，x+2y=3，

即x=y=1時，1[]x3+2[]y3min=3.

本文給出上述問題的一個推廣，并分別利用均值不等式和赫爾德不等式給出兩種解答方法.

推廣 設(shè)x，y∈R+，x+λy=n，求1[]xn+λ[]yn的最小值.

解 （方法一）設(shè)1[]xn+λ[]yn=k，則1=1[]k1[]xn+λ[]yn.又 x+λy=n，

構(gòu)造“數(shù)學(xué)式”：n+1=n·x+λy[]n+1[]k1[]xn+λ[]yn=1[]kxn+x[]n+x[]n+…+x[]n+λ[]kyn+λy[]n+λy[]n+…+λy[]n（第一個括號里有n個x[]n相加，第二個括號里有n個λy[]n相加）≥n+1[]n+1[]knn+(n+1)λ[]n+1[]knn=(n+1)(1+λ)[]n+1[]knn，

∴1+λ[]n+1[]knn≤1，∴k≥(1+λ)n+1[]nn.

當(dāng)1[]kxn=x[]n，λ[]kyn=λy[]n，即x=y=n[]1+λ時，1[]xn+λ[]ynmin=(1+λ)n+1[]nn.

(方法二)根據(jù)赫爾德不等式，有

1[]xn+λ[]yn1[]n+1·(x+λy)n[]n+1≥1[]xn[]n+1·xn[]n+1+λ1[]n+1[]yn[]n+1·λn[]n+1·yn[]n+1=1+λ，

∴1[]xn+λ[]yn1[]n+1≥1+λ[]nn[]n+1.∴1[]xn+λ[]yn≥(1+λ)n+1[]nn.

故1[]xn+λ[]ynmin=(1+λ)n+1[]nn.



【參考文獻(xiàn)】

數(shù)學(xué)問題解答［J］.數(shù)學(xué)通報，2010(07).