談數學期望在現實生活中的應用
2012-01-01 00:00:00馬玉星
數學學習與研究 2012年5期
【摘要】概率統計是研究隨機現象與統計規律的科學，數學期望是隨機變量的重要特征之一.概率問題與我們的生活緊密聯系，數學期望則更是在我們的生活中發揮著巨大的作用.本文介紹了有關數學期望的知識，并列舉了一些實例，說明數學期望在現實生活中的應用.
【關鍵詞】概率統計;數學期望;應用;統計規律;隨機變量
一、關于離散型和連續型隨機變量數學期望的定義
1.對于離散型隨機變量X，設其分布律為P{X=xk}=pk，（k=1，2，…），若級數∑∞[]k=1xkpk絕對收斂，則稱該級數為隨機變量X的數學期望（簡稱期望或均值），記為E(X)，即E(X)=∑∞[]k=1xkpk.
2.設連續型隨機變量X的概率密度函數為f(x)，若積分∫+∞-∞xf(x)dx絕對收斂，則稱該積分為隨機變量X的數學期望，記作：E(X)，即E(X)=∫+∞-∞xf(x)dx.
二、數學期望在現實生活中的一些應用
1.配對問題
一把鑰匙開一把鎖，每把鎖都有各自對應的鑰匙與其配對.同樣，不同的信應裝入不同的信封.而我們如果在每個信封內都隨意地裝一封信，又能有幾封信恰好落入與其相對應的信封呢？這時我們便可以利用數學期望求出信與信封對應的個數.這樣我們可以得到一個科學合理的解釋，事實并不像想象中的那樣巧合.
例1 某人先寫了n封投向不同地址的信，再寫了這n個地址的信封，然后在每個信封內隨意地裝入一封信，求信與地址配成對的個數X的期望.
解 首先定義n個隨機變量如下：
Xi=1 第i封信配對成功
0 第i封信配對不成功（i=1，2，…，n)，則X=∑n[]i=1Xi(i=1，2，…，n)．
配對試驗的樣本空間的樣本總點數=n·（n-1)·…·2·1=n!（第1封信有n種配法，第2封信就剩下n-1種配法……最后一封信就只有1種配法），而事件{Xi=1}={第i封信配對成功，而其他n-1封信隨意配}的樣本總點數=(n-1)!(因為第i封信已配成對，所以其余的n-1封信只能與余下的n-1個信封配）.
所以P{Xi=1}=1[]n，P{Xi=0}=1-1[]n.
從而E(Xi)=1[]n，因此E(X)=E(∑n[]i=1Xi)=∑n[]i=1E(Xi)=n×1[]n=1.
2.獲獎問題
買彩票、摸獎、有獎銷售中的高額大獎刺激人心，每個人都期望自己擁有那份幸運，然而事實真如我們期望的那樣嗎？通過下面計算期望值可以看出，這一切活動我們都應少參加，三思而后行.
例2 某銀行開展定期定額的有獎儲蓄，定期一年，定額60元.按規定10000個戶頭中，頭等獎一個，獎金500元；二等獎10個，各獎100元；三等獎100個，各獎10元；四等獎1000個，各獎2元.某人買了五個戶頭，他期望得獎多少元？
解 因為任何一個戶頭得獎都是等可能的，我們先計算一個戶頭的得獎金數X的期望.依題意，x的分布列為:
即買５個戶頭的期望得獎數為E(5X)=5E(X)=5×0.45=2.25(元）.
從上述計算結果我們可以看出得獎的金額是很小的.
3.保險問題
購買保險是我們日常生活中非常重要的一件事情，高額的賠償金是我們選擇各類保險的一個重要理由，通過本題的計算，我們可改變一下平時的看法，我們并不是保險的最大受益者.
例3 據統計，在一年內健康的人死亡率為2‰，保險公司開展保險業務，參加者每年支付20元保險金，若一年內死亡，公司賠償A元(A>20)，問A應為多少，才能使保險公司獲益？
解 設隨機變量ξ為保險公司從每一個參加保險者處獲得的凈收益，ξ的概率分布為：
ξ[]20-A[]20
P{ξ=xk}[]0.002[]0.998
E(ξ)=(20-A)×0.002+20×0.998=20-0.002A.
要使E（ξ）>0，得到20 從上面的例子可以看出，數學期望與我們的日常生活有著緊密的聯系，通過它我們可以更好地解決生活中的許多問題，作出科學準確的決策.當然除了上述的例子外，還有很多實際例子，需要我們在以后的日常生活中去發現.
