關于雙曲凸函數(shù)精確半徑的探究
2012-01-01 00:00:00尹麗萍
數(shù)學學習與研究 2012年5期
【摘要】從雙曲幾何角度，雙曲凸性與歐氏凸性有著密切的聯(lián)系，與之對應的是定義在單位圓盤D內的雙曲凸函數(shù).本篇文章對正規(guī)化函數(shù)族Kh(huán)(α)中的函數(shù)，針對k的不同取值，探究了其雙曲k-凸性的半徑，給出了其精確的半徑范圍.
【關鍵詞】雙曲凸函數(shù)；雙曲k-凸性；微分算子
【中圖分類號】O174.5 【文獻標識碼】A
1.引 言
本文主要研究定義在單位圓盤D={z：|z<1|}上的雙曲凸函數(shù).雙曲凸函數(shù)是歐式凸函數(shù)在雙曲度量下的推廣，由于雙曲度量具有很好的保形不變性，因此成為現(xiàn)代復分析研究的主要工具，雙曲凸函數(shù)在眾多學者的共同努力下，已經(jīng)取得了不錯的成果.
本篇文章通過探究，對雙曲凸函數(shù)族Kh(huán)(α)，我們給出了其在k的不同取值下雙曲k-凸性的精確半徑，這個結論，將為我們研究雙曲凸函數(shù)提供更為準確、廣泛的視野.
2.預備知識
定義1 設γ:z=z(t)，t∈I，是雙曲區(qū)域Ω上的一個C2曲線，局部單葉函數(shù)f:D→D，曲線γ:z=z(t)和f。γ的雙曲曲率公式為：
kD(f(z)，f。γ)|Dh1f(z)|=kD(z，γ)+ImDh2f(z)[]Dh1f(z)·z′(z)[]|z′(z)|.（1）
定義2 若區(qū)域Ω∈D滿足：對任意的a，b∈Ω，且a≠b，連接a，b的雙曲曲率為常數(shù)k的兩個最短的圓弧位于Ω內，則稱區(qū)域Ω為雙曲k-凸區(qū)域.
定理 若函數(shù)f是Ｄ內的雙曲凸函數(shù)，那么對于任意的z∈D，有：
【參考文獻】
《數(shù)學通報》1996年第8期，第1023號數(shù)學問題.
