淺談幾何概型及其應用

（河南省焦作市修武縣第一中學 454350）

幾何概型，是新課改新增的考查內容之一.它以其形象直觀的特點，備受人們青睞，它又可以與定積分等知識緊密聯系，以此為載體設計的試題情景新穎，還可以極大地提高學生接受信息、處理信息、創新探究的學習能力.

一、幾何概型的概念

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．

二、幾何概型的基本特點

(1)試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個.

(2)每個基本事件出現的可能性相等.

三、幾何概型概率計算公式事件A發生概率P（A）=構成事件A的區域長度（面積或體積）[]試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體積）

四、幾何概型的應用

（一）與長度有關的幾何概型

1.如果試驗的結果構成的區域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為：P（A）=構成事件A的區域長度[]試驗的全部結果所構成的區域長度.

2．將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．

例1 公共汽車在0～5分鐘內隨機地到達車站，求汽車在1～3分鐘之間到達的概率.

分析 將0～5分鐘這段時間看作是一段長度為5個單位長度的線段，則1～3分鐘是這一線段中的2個單位長度.

解 設“汽車在1～3分鐘之間到達”為事件A，則P（A）=3-1[]5=2[]5.

所以“汽車在1～3分鐘之間到達”的概率為2[]5.

（二）與面積(或體積)有關的幾何概型

1．如果試驗的結果所構成的區域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為：P(A)＝構成事件A的區域面積[]試驗的全部結果所構成的區域面積.

2．“面積比”是求幾何概率的一種重要類型，也是在高考中常考的題型．

3．如果試驗的結果所構成的區域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為：

P(A)＝構成事件A的區域體積[]試驗的全部結果所構成的區域體積.

例2 在線段［0，1］上任意投三個點，問由0至三點的三線段，能構成三角形與不能構成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大.

解析 設0到三點的三線段長分別為x，y，z，即相應的右端點坐標為x，y，z，顯然0≤x，y，z≤1.這三條線段構成三角形的充要條件是：x+y>z，x+z>y，y+z>x.

在線段［0，1］上任意投三點x，y，z，與立方體0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1中的點（x，y，z)一一對應，可見所求“構成三角形”的概率等價于邊長為1的立方體T中均勻地擲點，而點落在x+y>z，x+z>y，y+z>x區域中的概率.這也就是落在圖中由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所圍成的區域G中的概率.

由于V(T)=1，V(G)=13-3×1[]3×1[]2×13=1[]2，∴p=V(G)[]V(T)=1[]2.

由此得出能與不能構成三角形兩事件的概率一樣大.

（三）綜合問題

隨著對幾何概型的進一步學習，幾何概型與二次方程、線性規劃、定積分、立體幾何、不等式等知識的綜合應用將成為今后一個主要復習方向.

例3 隨機地取兩個正數x和y，這兩個數中的每一個都不超過1，試求x與y之和不超過1，積不小于0.09的概率.

解析 0≤x≤1，0≤y≤1，不等式確定平面域S.A=‘x+y≤1，xy≥0.09’.

則A發生的充要條件為0≤x+y≤1，1≥xy≥0.09，不等式確定了S的子域A.

故P(A)=A的面積[]S的面積=∫0.90.11-x-0.9[]xdx=0.4-0.18ln3=0.2.

總之，幾何概型是高中的新生事物，在平時模擬試題中多有出現，試題難度以中低檔為主，在平時學習中應注意不斷總結各種題型，同時注意與其他知識的綜合應用以及在實際問題中的應用，可以較好地提高學生解決實際問題的能力.