準確合理使用圖形變換 提高數學思維品質
2012-01-01 00:00:00何小紅
數學學習與研究 2012年5期
【摘要】新課程標準下的初中數學教材，增添了圖形變換的內容，這使得數學試題的解法與技巧更加靈活多變，特別是平移、對稱（翻轉）和旋轉變換則是初等幾何問題中經常用到的三種方法.本文通過幾個實例對三種變換的應用進行初步的探討，希望讀者能很好地領會這三種解決問題的方法和思維實質，合理利用，有效提高思維品質.
例1 如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，E，F分別為上、下底邊的中點.
求證：EF＝1[]2（BC-AD）.
圖 1
證明 過點E分別作EG∥AB交BC于G，EH∥DC交BC于H，則∠B=∠EGH，∠C=∠EHG.
又 ∵∠B＋∠C＝90°，∴∠EGH+∠EHG＝90°，
∴∠GEH＝90°，
∴△GEH為直角三角形.
又 ∵AD∥BC，∴四邊形ABGE，DCHE為平行四邊形.
∴AE=BG，ED=HC，AD=AE+ED.而E，F分別為AD和BC的中點，
∴BF=FC，EA=ED.∴FG=FH.∴EF為Rt△GEH斜邊上的中線.
∴EF=1[]2GH=1[]2BC-(BG+CH)=1[]2BC-(AE+ED).
即EF＝1[]2（BC-AD）.
評注 本題證法是通過平移，即把分散的線段通過平移使其集中到一個三角形中去，再利用三角形的特性進行分析證明結論成立.
例2 如圖2，E是△ABC中∠CBA外角平分線上一點.
求證：AE+EC＞AB+BC.
圖 2
證明 ∵E是△ABC中∠CBA外角平分線上一點，
∴可將△BEC沿BE向下翻轉180°得BC的對稱線段BC′，
則C′一定在AB的延長線上，且EC=EC′，BC=BC′.
而在△AEC′中，AE+EC′＞AC′=AB+BC′=AB+BC.
即AE+EC＞AB+BC.
評注 本題證法是通過對稱，其過程也是把分散的線段AB，BC集中到一個三角形中，再利用三角形的三邊關系證題.
例3 在正方形ABCD內有一點P，∠APB=135°，且PA=1，PB=2.求PC的長.圖 3
證明 將△PAB繞點B旋轉90°到△BCP′，則P′C=PA=1.
連接PP′，則△PBP′為等腰直角三角形，
∴PP′=2PB=22，且∠BP′P=45°.而∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=90°.
∴在Rt△PP′C中，
PC=PP′2+P′C2=3.
評注 本題方法是通過旋轉，結果也是把分散的條件集中在一起，再利用勾股定理達到解題目的.
通過以上例題分析，可知幾何變換在平幾解題中如能恰當而靈活運用，會使部分難題化難為易，迎刃而解.
