妙證塞爾維亞奧數題及其推廣
2012-01-01 00:00:00陳志欽
數學學習與研究 2012年5期
證明 由參考文獻可知
(a-b)2[]b+(b-c)2[]c+(c-a)2[]a≥［(a-b)+(c-b)+(a-c)］2[]a+b+c=4(a-b)2[]a+b+c，
因此，a2[]b+b2[]c+c2[]a=［(a-b)+b］2[]b+［(b-c)+c］2[]c+［(c-a)+a］2[]a=(a-b)2[]b+(b-c)2[]c+(c-a)2[]a+a+b+c≥a+b+c+4(a-b)2[]a+b+c.證畢
推廣一 已知a，b，c是正數，求證：a2[]b+b2[]c+c2[]a≥a+b+c+4(a-b)2+4(a-c)2+4(b-c)2[]3(a+b+c).
推廣二 已知a1，a2，…，an是正數，求證：∑n[]i=1a2i[]an+1-i≥∑n[]i=1ai+4(a1-an)2[]∑n[]i=1ai.
推廣三 已知a1，a2，…，an是正數，
1.當n為偶數時，求證：∑n[]i=1a2i[]an+1-i≥∑n[]i=1ai+4∑n[]2[]i=1ai-∑n[]i=n[]2+1ai2[]∑n[]i=1ai；
2.當n為奇數時，求證：∑n[]i=1a2i[]an+1-i≥∑n[]i=1ai+4∑n+1[]2-1[]i=1ai-∑n[]i=n[]2+1ai2[]∑n[]i=1ai.
請同學們按照以上方法加以證明.
【參考文獻】
《數學通報》1996年第8期，第1023號數學問題.
