二次曲線的存在條件
2012-01-01 00:00:00梁雪梅王迪黃保軍
數學學習與研究 2012年5期
【摘要】本文基于二次曲線的一般理論，探討了二次曲線的以下幾個存在條件：以一點為中心，且通過平面上另外三點能確定一條二次曲線；通過平面上三個點且以一條直線為漸近線，能確定一條二次曲線.這些結論不但可以運用到二次曲線的求解中，還可以為研究二次曲線的性質提供便利.
【關鍵詞】二次曲線；中心；漸近線
二次曲線是解析幾何學研究的重點對象，它不但對幾何學本身發展有重要影響，而且在物理學等其他相關學科也有重要應用.現有文獻對二次曲線的研究，大都集中在漸近方向、中心、漸近線、切線、直徑以及它的分類方面，對于二次曲線的存在條件研究甚少.解析幾何的主要目的是通過曲線的方程來研究其幾何性質.而二次曲線的存在條件是求二次曲線方程的重要依據，同時，二次曲線的存在條件也是研究二次曲線幾何性質的重要工具.本文將利用二次曲線的一般理論，給出二次曲線的若干存在條件，所得結論不但推廣了［1］中第五章習題中的有關結果，而且為求二次曲線提供了一定的理論基礎.
一、有關概念與已知結果
中，可以得出a11：a12：a22：a13：a23：a33.于是我們得出結論：平面上五個不同的點，一般地決定一條二次曲線.
有時我們所得的曲線不是唯一的，例如當所給的五點有四點共線時，曲線變成退化的，其中一部分為四點所在的直線，另一部分是過第五點的任一條直線.
事實上，除了上述情形外，總可以得到唯一的二次曲線.因為從代數上知道，如果方程組(1)被看成關于aij的齊次線性方程組，若其系數矩陣的秩是5，那么就只有一組關于aij的線性無關的解，因此只有一條二次曲線通過已給的五個點.
如果方程組(1)的系數矩陣的秩小于5，至少有一個方程是另外四個方程的線性組合.不妨設第五個是前四個的線性組合.這就是說，滿足前四個方程的aij也滿足第五個，即經過M1，M2，M3，M4四點的一切二次曲線全都經過第五個點M5.關于這一款，我們有：
引理1[2] 如果經過M1，M2，M3，M4四個不同的點的每一二次曲線總經過第五個點M5，則這四個點中必有三個共線.
引理2[2] 在引理1的假設下，如果M1，M2，M3，M4四點中，有三點共線，則M5也在這條直線上.
合并兩個引理得：已給五個點，如果其中有一個點總在經過其他四個點的每一個二次曲線上，那么這五個點中必有四個共線，于是有：
命題3 平面上無四點共線的五點唯一確定一條二次曲線.
二、主要結論及其證明
五點存在一順序，使按該順序依次連接各點所得到的封閉圖形為凸五邊形時，二次曲線是橢圓或二平行直線，否則是雙曲線.
注 驗證平面上五點是否存在一順序，使按該順序依次連接各點所得到的封閉圖形為凸五邊形，可根據凸五邊形的定義，任意取定一點，然后將該點與其余四點相連，驗證是否存在二連線可充當凸五邊形的邊（只要驗證剩余三點是否在該連線的同側）.若存在二連線可充當凸五邊形的邊，再以這兩邊的新端點（非開始取定的點）作為新取定點與剩余兩點分別相連，看連線是否可充當凸五邊形的邊.若這四連線中有兩條可充當凸五邊形的邊，最后驗證剩余兩點的連線否可充當凸五邊形的邊.如果上述三步連接都得到肯定答案，則平面上這五點一定存在一順序，使按該順序依次連接各點所得到的封閉圖形為凸五邊形，否則，這五點便不可能是一凸五邊形的頂點.
