高中三角函數中基本數學思想的體現
2012-01-01 00:00:00張永春
數學學習與研究 2012年5期
數學思想是數學的精髓，在數學教學中具有重要的影響.對數學思想的充分理解和靈活運用是數學能力的集中體現.三角函數是高中數學的重要內容之一，其中蘊含著豐富的數形結合、轉化與化歸等數學思想.教會學生用常用的數學思想解決三角函數問題顯得尤為重要.
一、基本數學思想在高中三角函數中應用的現實意義
數學思想是從數學知識中提煉出來的精髓.學生在學習數學知識時，掌握數學基礎知識雖然重要，但只有掌握了數學思想并將其融入學生的心中，形成學生自己的解題思維，才能將知識轉化為能力，提高學生的數學素質.三角函數是高中數學的重要內容.三角函數主要體現了等價的數學思想.三角函數問題無論是三角函數的求值題、求最值題、綜合題、探索題還是應用題，均以考查三角變換為核心，所以，在教學時，引導學生熟練掌握并能靈活應用有關三角函數的公式，掌握變換技巧與方法對高中生來說是很必要的.靈活地借助數學思想方法解答三角函數問題，可以有效地優化解題過程，增強學生分析與解決問題的能力.
二、高中三角函數中基本數學思想的體現
1.數形結合思想
數形結合是借助數的精確性，運用數與形的關系來解決數學問題的一種重要的數學思想.它可以把抽象的問題轉化為具體直觀的圖形，從而簡明直觀地呈現問題.體現在三角函數中是利用單位圓中的三角函數線、三角函數圖像求三角函數定義域、求單調區間、解三角不等式、討論方程實根的個數、比較大小等.
例1 求sin|x|>|cosx|在［-π，π］上的解集.
解析 設y1=sin|x|，y2=|cosx|，在同一坐標系中作出在［0，π］上兩函數圖像(如圖)，在［0，π］上解得sin|x|=|cosx|的解為x=π[]4或x=3π[]4.因此，由圖像要使得y1>y2，即π[]4 2.分類討論思想 分類討論可以使復雜的問題逐漸簡單化，它在很大程度上縮小了解題的討論范圍，將問題化整為零，各個擊破，是解決三角函數問題中的一種重要解題策略.它有三個重要的原則，即不重復、不越級、不遺漏. 例2 求函數f(x)=cos2x+2asinx-1(0≤x≤2π，a∈R)的最大值和最小值. 3.轉化與化歸思想 轉化與化歸思想是解決數學問題的一種重要的思想方法.是把未知的問題轉化為已有知識范圍內的問題的一種重要的思想方法，通過不斷的轉化，把不熟悉的、復雜的問題轉化為熟悉的、簡單的問題.三角函數中的許多較為復雜的問題都可以通過化歸轉化得到解答.化歸轉化思想處理數學問題的實質是逐步將簡單問題代替復雜問題、多種函數問題向單一函數問題轉化、特殊問題向一般問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等.轉化時要特別注意問題的等價性. 等價轉化思想滲透于數學的各個部分，在三角函數中的滲透尤其明顯，利用簡化公式(誘導公式)將任意角三角函數轉化為銳角三角函數，利用兩角和差公式、二倍角公式將一些非特殊角轉化為特殊角，利用三角公式將復雜的三角函數式轉化為簡單形式.在解題中注重培養和訓練學生的轉化意識，有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技巧. 例3 已知3sin2α+2sin2β=sinα+2，求sin2α+sin2β的取值范圍. 的取值范圍是4[]9，9[]8.要注意轉化的等價性，這里u=sinα取不到最小值-1. 4.建模思想 建模思想是根據實際問題建立相應的數學模型來解決較為抽象的數學問題，以此達到解決實際問題的一種數學思想方法.在解決三角函數問題時，我們可以引導學生通過建模思想將數據搭建為圖形模具，從而利用三角函數解決問題. 例4 如圖，南京市城市規劃期間，想要拆除長江岸邊的一座風電塔，已知風電塔AB的水平距離20 m處是河岸， 即BD=20 m.該河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值為2，岸高CF為2 m，在坡頂C處測得桿頂A的仰角為30°，D，E之間是寬2 m的人行道，請你通過計算說明在拆除風電塔AB時，為確保安全，是否將此人行道封上?(在地面上以點B為圓心，以AB長為半徑的圓形區域為危險區域) 分析 這道題實質是比較BE與AB的大小，若BE>AB，不用封道；若BE 說明 這類題在求解過程中，好多地方運用了建模的數學思想方法，由所求的問題逐步探索，最終獲得答案，使學生產生一種由衷的喜悅之情，獲得成就感，增強了學生學習三角函數的積極性. 5.函數思想 三角函數其本身就是一種特殊的函數，解決三角函數的問題自然離不開函數思想，體現在某些三角函數問題可用函數的思想求解參數的值(范圍)問題；有些三角函數的問題可以直接轉化為一元二次方程求解；還有一些三角問題，依據題設條件和求角結構，適當選取三角公式聯立組成方程組，以達到消元求值的目的，這是方程的思想在三角求值、證明等問題中的最直接體現.函數思想是在解決三角函數問題的過程中，把變量之間的關系抽象成函數關系，把具體問題轉化為函數問題，通過對函數相關問題的分析，最終獲得最佳答案. 6.逆向思想 一般情況下逆向思想是在正面考慮難以進行時采用的，從問題的反面進行思考解題思維策略，正確使用這種策略，可以有效地使解題狀況起死回生，找到求解的新途徑. 例題 將函數f(x)=sinx的圖像向右平移π[]4個單位后，再作關于x軸的對稱變換，得到函數y=1-2sin2x的圖像，求f(x)的解析式. 解析 我們可以采用倒推的方法，即將整個變化過程逆過來考慮. 因為y=1-2sin2x=cos2x關于x軸的對稱變換為y=-cos2x，然后再向左平移π[]4個單位得y=-cos2x+π[]4=sin2x=2cosx·sinx，對照比較原函數y=f(x)sinx得f(x)=2cosx. 三、結 語 數學思想的滲透是在學生掌握數學知識的同時經過反復應用、潛移默化而形成的.作為高中數學教師，我們在三角函數教學中應當引導學生充分掌握和運用題型中蘊含的主要數學思想，在教學過程中滲透和強化三角函數數學思想的訓練，逐步促進學生知識體系的完善，建立系統科學的解題技巧，切實推進高中三角函數教學，提高學生的學習成績和我們的教學效果.若學生能很好地掌握好在三角函數教學中運用題型中蘊含的主要數學思想這部分內容，在以后的學習中將有很大的受益.以上僅是本人的一些淺層次認識，還有待于我們在教學實踐中進一步作更加具體的深入細致的研究.
