正比例函數與一次函數的整合教學

函數是中學數學中的一個重要內容，而正比例函數與一次函數又是最基本的函數，是學習反比例函數、二次函數等的基礎，其理解與掌握程度直接影響以后的學習.但是由于這部分內容的抽象性和復雜性，學生接受起來比較困難，所以我們每教授這部分內容時總是絞盡腦汁，用盡千方百計，也達不到理想的效果，總有部分學生理解不透，掌握不好.其難點之一是正比例函數與一次函數的關系，之二是函數解析式與圖像的聯系，之三是函數圖像與性質的判斷與運用，之四是運動變化與聯系對應的思想的認識，之五是數形結合與函數建模思想的應用等.

在新人教版教材中，編者把函數的認識與一次函數的學習安排在八年級上冊的第十四章§14.2.1認識特殊的一次函數即正比例函數（包括定義、圖像、性質等），在此基礎上§14.2.2再學習一次函數.其目的是從簡單到復雜、從特殊到一般，符合學生的認知特點與發展規律，但筆者認為所用課時較長.為了縮短課時、降低難度，筆者嘗試了把正比例函數與一次函數整合在一起來探索學習，取得了較好的效果.以下為本節教學設計，與同行商榷.

一、創設情境

情境問題一：

1.本校八年級一班學生從學校出發，乘車去春游，車速是50千米/小時，寫出汽車與學校的距離s(千米)與行駛時間t(小時)的函數關系式，并畫出其圖像.

2.若上面的問題改為：學生先走10千米后再乘車，車速還是50千米/小時，此時汽車與學校的距離s(千米)與行駛時間t(小時)的函數關系式又是怎樣的？在同一坐標系中畫出圖像.

情境問題二：

1.某登山隊大本營所在地的氣溫為0 ℃，海拔每升高1 km氣溫下降6 ℃，登山隊員向上登高x km時，他們所在位置的氣溫為y ℃.試寫出y與x的關系式，并畫出圖像.

2.若上面的問題改為：大本營所在地的氣溫為5 ℃（或-5 ℃），那么y與x的關系式又是怎樣的？在同一坐標系中畫出圖像.

二、自主探究

由前面所學函數及其圖像的知識做基礎，

學生很容易寫出以上幾個解析式并畫出圖像.

情境問題一解答：

1.s=50t(t≥0)；

2.s=50t+10(t≥0).

圖像為右上圖.

情境問題二解答：

1.y=-6x(x≥0)；

2.y=-6x+5(x≥0)

或y=-6x-5(x≥0).

圖像為下圖.

探究問題1：以上幾個函數解析式有什么共同特征？其圖像有什么特征？

生：函數解析式都是用自變量的一次式來表示的，圖像都是射線.

師：那么我們就稱這樣的函數為一次函數，其一般形式為y=kx+b（k，b是常數，k≠0).特別地，當b=0時，y=kx（k≠0)又稱為正比例函數.

探究問題2：情境問題一中，當自變量t(小時)每增加1，s（千米）增加多少？隨著t值的增大s值是如何變化的?情境問題二中，當自變量x(km)每增加1，y（℃）減少多少？隨著x值的增大y值是如何變化的?由此你能理解以上函數圖像為什么都是直線型嗎？

生：情境問題一中，當自變量t每增加1，s的值就增加50，s的值隨著t的值的增大而增大；情境問題二中，當自變量x每增加1，y的值減少6，y的值隨著x的值的增大而減小.隨著自變量的增加，相應的函數值均勻增加或減少，所以其圖像是直線型.

探究問題3：把以上各題中自變量的取值范圍擴大到全體實數，它們的圖像又是怎樣的？

生：圖像都是直線.

探究問題4：你能再舉出幾個一次函數并畫出其圖像嗎？其圖像與特征與以上幾個題一樣嗎？

生：略.

三、合作交流

交流問題1：正比例函數和一次函數是怎樣的關系？

交流問題2：直線y=kx和直線y=kx+b（b≠0)有什么關系？它們的特征是什么?直線y=kx和直線y=kx+b分別過哪些特殊點？

交流問題3：k，b的符號與直線有怎樣的關系（直線過哪些象限）？

交流問題4：當k＞0時，直線從左到右上升還是下降？函數y的值隨x的值的增大而如何變化？當k＜0時，直線從左到右上升還是下降？函數y的值隨x的值的增大而如何變化？

交流問題5：在實際問題中，在書寫解析式與畫函數圖像時應注意什么？

學生討論交流后，在教師引導下，可以得到以下結論：

1.正比例函數(y=kx，k≠0)是特殊的一次函數(y=kx+b，k≠0)，它們之間具有包含關系.

2.當一次函數y=kx+b中的b=0時，即為正比例函數y=kx時，其圖像經過原點，當b≠0時，圖像不過原點.

3.正比例函數y=kx是過（0，0）和（1，k）的直線，一次函數y=kx+b是過（0，b）和-b[]k，0的直線.

4.當k＞0時，直線從左到右上升，函數y的值隨x的值的增大而增大；當k＜0時，直線從左到右下降，函數y的值