二次函數的解題感悟

對于典型例題的解析分析，分析解題過程不僅能“改正”解答，而且能提高“解答”水平.我結合“二次函數”知識點，嘗試解題四步驟基本程式“題目模仿、變形練習、自我感悟、自我分析”進行解題指導.

1.題目模仿

首先，由同學們概括出二次函數的解析式的三種表達形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，且a≠0）；

（2）頂點式：y=a(x-h)2+k(a，h，k為常數，且a≠0)，頂點為(h，k)；

（3）交點式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1，x2是拋物線與x軸焦點的橫坐標）.

其次，給出基本題，讓學生題目模仿.

例1 已知二次函數的圖像經過點A（-1，0），B（0，-3），C（4，5），求此拋物線的解析式.

例2 已知二次函數的圖像的對稱軸為直線x=-2，其函數最大值為3，與x軸的一個交點是(-5，0)，求此拋物線的解析式.

例3 已知拋物線與x軸相交于點A(-1，0)，B(1，0)，并經過點M(0，1)，求此拋物線的解析式.

2.變形練習

例4 已知二次函數的圖像與x軸兩交點間的距離是4個單位，且頂點為M(1，6)，求此拋物線的解析式.

再次，通過引導學生分析題中已知條件，借助數學解題的信息過程包括的“三位一體”的方法“有用捕捉、有關提取、有效組合”，得出如下信息：

信息1 由“頂點為M(1，6)”，可得拋物線的對稱軸為x=1，函數的最大值是6.

信息2 由“二次函數的圖像與x軸兩交點間的距離是4個單位”，可得二次函數的圖像與x軸兩交點分別在對稱軸x=1兩側各2個單位長度處，即二次函數圖像與x軸兩交點坐標分別為(-1，0)，(3，0)，這就轉化為基本題.

信息3 提取基本題中二次函數的解析式的三種表達形式.

最后，把“有用捕捉”“有關提取”的信息“有效組合”起來，學生可以得到如下三種解法.

解法1 設二次函數的解析式為：