泊松趣題的啟迪泊松趣題的啟迪

（西南石油大學 610500）

【摘要】法國數學家泊松年輕時以一道分酒的趣題走上了數學的道路，但是這道數學題沒有很好的解法.通過研究發現可以用逆向思維的方式給出一個簡單可行的方法，由小見大，引出逆向思維這種重要的思維方式在數學中的應用，得出了教師和學生在教學和學習的過程中要重視并靈活運用逆向思維解決數學問題的結論.

【關鍵詞】泊松趣題；逆向思維

泊松（Poisson，SimeonDenis）（1781—1840），法國數學家，曾任歐洲許多國家科學院的院士，在積分理論、微分方程、概率論、級數理論等方面都有過較大的貢獻.許多著名數學名詞如泊松分布、泊松積分、泊松求和公式，等等都是以他的名字命名的.據說泊松在青年時代研究過一個有趣的數學游戲:某人有12品脫啤酒一瓶(品脫是英容量單位，1品脫=0.568升)，想從中倒出6品脫.但是他沒有6品脫的容器，只有一個8品脫的容器和一個5品脫的容器.怎樣的倒法才能使8品脫和12品脫的容器中恰好各裝6品脫啤酒?

我們可以把這個問題稱作泊松趣題.更有趣的是對這個數學游戲的研究竟決定了泊松一生的道路.從此，他決心要當一位數學家.由于他的刻苦努力，他終于實現了自己的愿望.

但是對于這個問題的回答，并未找到一個滿意的解答過程.常規思路是不斷地嘗試向其他的容器倒酒，直到單獨倒出1品脫的酒，分離之后，再將5品脫的容器倒滿，二者合并，湊成6品脫.這樣的方法沒有明確的指導，具有盲目性.過程中不僅容易出現重復倒入倒出的問題，而且經常會陷入倒了幾步又回到原來狀態的“僵局”，從而斷了思路.

對于這道問題假如能轉換一下思路，從結果著手分析，竟會有著意想不到的效果.

首先把12品脫、8品脫和5品脫的容器分別形象地標記為1號杯、2號杯和3號杯.我們知道當把酒最后分好的時候，最后的結果一定是1號杯裝6品脫，2號杯裝6品脫，而3號杯空出，即0品脫.對于每次倒酒后各個杯中酒的變化量稍作研究，可以發現一個法則.即是每次倒酒不是倒酒的杯子把被倒酒的杯子倒滿，就是倒酒的杯子被倒空.有了這個倒酒的法則，對解決這個問題將會有很大幫助.這是因為當我們由結果向最開始推去的時候有了出發點，不再盲目.如果將最后1，2，3號杯的酒含量記作為660的話，根據上述法則由于3號杯是空的，而其他兩個杯子既不滿也不空，所以倒酒的最后一步一定是3號杯向其他兩個杯子的其中一個倒酒.那么最后一步之前3號杯有多少酒呢?答案是滿杯即5品脫.因為假設不是5品脫，那么就會造成三個酒杯全部都是既不滿也不空，這是不符合法則的.所以可得出最后一步之前各杯的酒含量分別為615或165.如果為615這種情況，由于3號杯為滿杯，1，2號杯既不滿也不空，那么倒數第二歩就是1，2號杯的其中一杯向3號杯中倒酒可得倒數第二步之前各杯酒含量分別為1110或660.660這種情況說明又回到了最后即是重復了前面的步驟，應該舍去.如果為165這種情況，同理由于3號杯滿杯，1，2號杯既不滿也不空，那么倒數第二步之前各杯中酒的含量分別為183或660（舍去）.依照這種方法，一步一步往下推理，很快會得到如下兩個表格.

在分析的末尾出現了各杯含量分別為084和480的情況，這表明了此時一個杯子裝滿了酒而另一個杯子是空的.如果繼續往下推斷的話，就不知道是從裝滿的杯子入手，還是從空的杯子入手.這時再分情況討論的話，勢必下面每一步都要分兩種情況討論，這種情況上的累加給整個推斷帶來了較大的麻煩.此時如果能從正的方向想會發現以上情況是極容易實現的.只需將一個杯子裝滿調整其他被子酒的含量即可！例如，第一種情況需要兩步，即1200→480→084，而第二種情況僅需一步，即1200→480.這就得到了這道問題的答案，即由上述推理過程反向排列即可.

上述方法的好處是既避免了重復倒酒的步驟而找到了最少次數的解，又找到了全部的解.這種方法先后兩次用到了正難則反的數學思想，它是逆向思維的核心內容.

通過對泊松趣題的解答給了我重要的啟迪，就是要對逆向思維這種普遍的思維方式加以重視.它提醒著我們的教師和學生在教育和學習的過程當中要重視并靈活運用這種方法解決問題.