怎樣講好“充要條件”這一概念怎樣講好“充要條件”這一概念
2012-01-01 00:00:00時富峰
數學學習與研究 2012年5期
【摘要】在中學數學教學中，有一個很重要的概念——充要條件，它是學生們學習中的一個難點，往往學過以后還不能真正理解、分清，更不能正確判斷出充分條件、必要條件和充要條件，給以后的學習帶來許多不便.
【關鍵詞】充分條件；必要條件；充要條件
我們知道，命題都由條件和結論兩部分組成，而數學命題的條件和結論之間都有某種聯系，這就是充分條件、必要條件和充要條件問題.為了使學員們能有規律地認識清楚，現就此變換一下說法，來分清充分條件、必要條件和充要條件的關系：
1.充分條件、必要條件和充要條件
用A，B分別表示命題的條件和結論.
（1）如果A成立，那么B成立（A→B），則A是B成立的充分條件；
（2）如果B成立，那么A成立（B→A），則A是B成立的必要條件；
（3）如果A→B且B→A，則A是B成立的充要條件.
注意 （1）充分有“足夠”的意思，即要有B，有條件A就足夠了；
（2）必要條件是結論成立“必不可少”的條件；
（3）A是B的充要條件，同樣B也是A的充要條件.
以上這些是教材所給的，難就難在對“足夠了”“必不可少的”這些詞語的真正理解，使學生的學習存在不少障礙.
2.如何判斷一個條件是結論成立的什么條件
我們知道判斷的方法，不外乎分三個步驟：
第一步：找出題中所說的條件、結論各是哪一部分，分別用A，B表示；
第二步：試一試能否有A→B成立或B→A成立；
第三步：根據定義判斷出它們各是什么條件.
綜合上述1和2，我們知道這些與教材是相吻合的，在分析這些知識時，我把判斷方法總結為以下幾個步驟，結果在教學中得到了事半功倍的效果，學員們都覺得易懂且易掌握.
①先搞清討論的問題：什么（A）是什么（B）的什么條件.
分清以后，創造一個命題——條件A、結論B，并視為一個原命題；
②判斷這個原命題及其逆命題的成立性；
③若原命題成立，則原命題的條件（A）是結論（B）成立的充分條件；
若其逆命題成立，則原命題的條件（A）是結論（B）成立的必要條件；
若原命題、逆命題均成立，則原命題的條件（A）是結論（B）成立的充要條件.
④若在判斷原命題、逆命題的成立性有困難時，則注意轉化引用等價命題判斷其成立性來解決.
例 （1）“x=y”是“x2=y2”的什么條件？
（2）“x≠y”是“x2≠y2”的什么條件？
（3）“x≠y”是“x2=y2”的什么條件？
（4）“x=±y”是“x2=y2”的什么條件？
解 （1）組織一個原命題：如果“x=y”，那么“x2=y2”.
其逆命題：如果“x2=y2”，那么“x=y”.
顯然易得：原命題成立，而逆命題不成立.
故“x=y”是“x2=y2”的充分條件，但不是必要條件，
即充分但不必要條件.
（2）創造一個原命題：如果“x≠y”，那么“x2≠y2”.
其逆命題：如果“x2≠y2”，那么“x≠y”.
在判斷其原命題、逆命題時，比較困難，此時就要運用其等價命題來解決：
原命題的等價命題=其逆否命題：如果“x2=y2”，那么“x=y”.
其逆命題的等價命題=其否命題：如果“x=y”，那么“x2=y2”.
這樣，我們很容易知道：其逆否命題不成立，即原命題不成立；
其否命題成立，即其逆命題成立.
故“x≠y”不是“x2≠y2”的充分條件，但是必要條件，即必要但不充分條件.
（3）創造一個原命題：如果“x≠y”，那么“x2=y2”.
其逆命題：如果“x2=y2”，那么“x≠y”.
顯然易得：原命題不一定成立，而逆命題也不一定成立.
故“x≠y”不一定是“x2=y2”的充分條件，也不一定是“x2=y2”的必要條件，即既不是充分條件也不是必要條件.
（4）組織一個原命題：如果“x=±y”，那么“x2=y2”.
其逆命題：如果“x2=y2”，那么“x=±y”.
顯然易得：原命題成立，而逆命題也成立.
故“x=±y”是“x2=y2”的充分條件，也是必要條件，即充分必要條件，亦即充要條件.
以上這一問題的提法，是我在近幾年教學實際工作中總結出來的，在教學中學生們也對此有更深的理解，現提出來供同行們討論，希望同行們能提出一點善意的寶貴意見，以便大家共同提高.
